IX. Des fonctions thôta
Les formules du chapitre précédent existent, d'après leur définition, seulement pour des valeurs réelles de la variable uw; examinons maintenant si ces résultats restent vrais pour des valeurs imaginaires de la variable. Si l’on considère les développements de sin am uw, cos am vw etc., en séries de la forme
. Tu | ST in" | di sin K + As SIN DK s DK ;
b TE + D os TU + D cos T4 + ….
OS TS OX STE e
on remarque facilement que ces séries deviennent divergentes lorsque u est imaginaire; de sorte que pour de telles valeurs de u, il ne peut être
(1) Cette démonstration est un peu longue; c’est pourquoi nous l’avons supprimée. Voir Dunèce, Theorie der elliptischen Funciionen, p. 265. J. G.
question d'appliquer les équations correspondantes. Il en est autrement des développements de @(u) ct H(u); car, comme on sait, les séries (101) et (102) sont convergentes pour toute valeur imaginaire de u, pourvu que q soit unc fraction simple et réclle. Les recherches que nous allons faire s’appliqueront d’abord aux fonctions 6 et H, pour lesquelles les équations (101) et (102) peuvent être considérées comme des définitions générales. En outre, nous rendrons cette analyse tout-à-fait indépendante dc la théorie précédente des fonctions elliptiques. Nous désignons, dans ce qui suit, par p une constante réelle positive quelconque, par z une variable imaginaire, et nous posons :
3 (2) —1—2eP cos 2z + 2e 4? cos 4z — De cos 6z + -.…., & & ___ n T4 (z)=2y/e SIn z — 2/e-sin 52 + 21/e-*sin Dz—..., : 8 : (108) Sa(z)=2p/eP cosz + 2/8 cos 5z +92p/e "5 cos DZ +..., Ss(z)—= 1 + 2e? cos 2z + 2e 4P cos &z + 2e? cos 62 +
a. Entre les quatre équations ainsi déterminées, il existe, comme on l'observe immédiatement, les quatre relations suivantes :
3 (z)= Ss G r—2) A9 (5r—> Ù
(109) H(2)=S5 lr—r » Js(z)—= 5 rx 1 2 9 2 —— 1 9 ° En outre, si m est un nombre entier, on a :
J(z+mr)—=9(2z), S:(2+ mr) —S5s(z), | (40
Sa (z+mr)=(— 1)" Si(z), Sa(z+mr) —(—1)" Sa (2).
Les fonctions S et 5: ont donc la période réelle x, et les deux autres la période 2x.
Si, dans (108), on exprime les cosinus et sinus par des exponentielles, et si l’on emploie, pour abréger, les signes Z, on peut exprimer ces quatre équations de la manière suivante :
L (z) = À (— 1): er p—ites,
J(z)—=12(—1ÿe” (+1) p—ileti)e u Sa (2) = 2e (+ )e—i@etoe (141)
ds (z) — Ÿ es" pistes,
les signes Z s'étendent à toutes les valeurs positives et négatives de s. On a identiquement :
12 (— 41} e (+3) P g—i@st+tis — PRE DT EE 4 et pit (s— sie) c'est-à-dire
Ha) —ie tP-#s (: — 2) |
Si l’on traite de la même manière les autres fonctions théta, on arrive aux quatre formules suivantes :
3 (aie 477 #9, (: — : æ)
Ji (z)— ie 207 J (- — 9 æ)
(112) pis 1.
Ja (2)= 674739 (: — 3 e) (2) 67407 # 9 (: — ; e) En remplaçant z par 2 +- ie il vient :
1 . 1 3 (- +3 jp )=ieir to (z), 1 . . 1 —Ÿz 1 É +3 p)=—ie PE 9 (z), (143)
| . Lois H(2+3 p)=e a da (z).
ET e . . 1 .
Si l’on met plusieurs fois de suite z + LE la place de z, on obtient
facilement, pour ñn entier et positif, d(2+ inp) = (— 1)" evP—isms 9 (2),
Ji (z+ np) = (— 1)" evP—iine 5, (2),
Je (z+ np) = en"P-itns 5, (2), Js(2+ np) = e"P-itms 9, (7); en outre, si l’on remplace z par z+ mr, on a, en vertu de (110) S(z+ mm + inp) = (— 1)" eve—isms 9 (2), J(z+ mn + inp) —=(—1)mtr ep is 94 (2), as) Ja (z + mn + inp) = (— 1)" er Pins 9, (z), | Js(z2+ MT + inp) = eP—ins S 5 (2).
11 s’en suit que les fonctions thêta ne sont pas seulement simplement périodiques, mais que le quotient de deux de ces fonctions a deux périodes, dont l’une a l'indice réel x ou 27, l’autre l'indice imaginaire ip ou 2ip.
Nous reviendrons sur ce sujet dans la suite.
b. Pour donner une autre forme aux quatre séries qui servent à définir les fonctions théta, nous ferons usage de la formule (voir la note à la fin
du volume) :
(m+s} Ze .P — VA cos 252, (145)
à laquelle nous pouvons rattacher une autre semblable. On a, en effet,
({r+st (rs)? (T+s) E(—lÿe P —=9%e P —3%5e P 4, \s
(r+ss) (m+2}
— 22e 4P — Le Ps
et si l'on transforme le second membre au moyen de (415), (T+s) 4 —!s 2(—1}e s =4/Es ‘cos az — 3er P cos 95e].
us
Enfin, le développement des sommes du second membre donne plus simplement
(m+s} us Z(—tÿe F 4/5 “+5) P c08(28+4)z. (116) Or, comme on le voit facilement, les formules (115) et (116) sont identiques aux suivantes :
(ms) 2e P — VE: ds (2),
(m+2i E(—1iYe P — VE (z),
dans lesquelles on peut même remplacer z par — 7, sans altérer le second 1 . , membre. Si l'on met encore gT—zau lieu de z, et si l’on a égard aux
relations (109), on arrive aux expressions suivantes des fonctions thêta :
s(9) = V= CS
s (2) = V Es(tye le, p (417)
Je (2) = = > (— 1} Par li . P 1 (sT—3)2 35 (z) = V= Ze ? .
Ces formules sont importantes, parce qu’elles permettent d'exprimer les fonctions théta d’une variable imaginaire au moyen des fonctions théta d’une variable réelle. Ainsi, de la première équation (411) on tire, en remplaçant z par 12,
# (ps) 3 (iz)—2(—1) enphts —eP>3(—i)e P
Si l’on introduit dans le second membre, au lieu de p et z, deux nouvelles quantités p’ et z’, au moyen des équations
, (118) il vient :
2 at (sp—) (sr — 7),
pb p É
par suite, la formule relative à 9 {tz) devient :
2/2 ar—s!}
S(iz)—er >(—tÿe PF
D'autre part, on tire de la troisième formule (117), en y remplaçant p
par p’, z par z’, et observant que 5; dépend en même temps de p’ et de z”,
CEE .Z(—4d}e F pere
La somme du second membre étant la même que dans 5 (iz), on en déduit une relation entre 3 ({z) et 92 (p', 2’). En général, on obtiendra de la méme manière les quatre relations suivantes :
s(pir)=À/ Le sp, x),
Fr,
Ji(p, 7) = 1 V£ er ss (p’, z’),
(= /Eer 3 (p', 7’) EVA F35(p,#).
Ces formules montrent comment les fonctions thêta à arguments imaginaires peuvent être exprimées au moyen des fonctions thêta à arguments réels. |
Les équations (109), (115) et (119) peuvent d’ailleurs être employées, pour déduire d’une propriété de l'une des quatre fonctions théta les propriétés analogues des autres fonctions thèta. Si l'on pose, par exemple,
dans une formule renfermant 3 (z), au lieu de z, successivement z+- 5'P
12, =7 — Z, On arrive à trois nouvelles formules, qui contiennent au
ko
lieu de 5, les autres fonctions 91, 3:, 35. Nous verrons bientôt une application de ce principe.
c. Formons, d’après la quatrième formule (413), les fonctions 53 (x), Ss (y), et multiplions-les l’une par l’autre. Soit, dans la première série, comme dans (115), s la lettre par rapport à laquelle la somme est prise ; dans la seconde, écrivons t au licu de s, et nous aurons : |
Ss (x) 95 (y) — Ze—"p—iter. Sefo—ity — SDe-(A+h)p—ialetty),
où s et { désignent tous les nombres entiers positifs et négatifs. Nous aurons alors à considérer les quatre cas suivants :
8 pair et t{pair, simpair » {impair, 8 pair » timpair, simpair >» tpair.
Nous réunissons les deux premiers cas en un cas principal, où s ct t sont de même espèce, les deux derniers en un cas principal où s et t sont d'espèce différente. D'après cela, nous décomposons les doubles sommes relatives à s et { en deux sommes doubles, dont la première renferme les s et t de même espèce, et la seconde les s ct t d'espèce différente, et nous écrivons simplement :
ds (x) 35 (y) = P + Q.
4 4 Pour s et { de même espèce, 9 (s+t) ct 5 (s — t) sont en même temps
des nombres entiers positifs ou négatifs, qui peuvent avoir toutes les valeurs possibles; nous poserons donc
S(s+t)=m, ED n;
d’où s=me+rn, t=m—n, 8 +—92(m'+n!).
La somme double représentée par P se forme de la manière suivante : P— 2Ze-mt+nt)p—52{m(z+y)+n(s—y)] — Se-mt2p—iim(rty), Ze—nt3p—ian(s—s), et, en vertu de la définition de 53, on a :
Pe= 93 (2p, x + y): 33 (2p, x — y).
Si s et t sont d'espèce différente, on a :
?, q désignant tous les nombres entiers positifs ou négatifs; il s'en suit :
1\: AN\3 S—=p+q+il, 1=p—0Q, s+r=2[(p+;) + (a+3) [
Par conséquent Q = 23e et 4)" #44) Teta[(et Let (rt 160) — 3e” *(r+ Deep 1er), Ze {+ a) ele) c'est-à-dire, en vertu de la définition de 33, Q = 54 (20, x + y): 3a (2p, x — y).
La substitution des valeurs de P et Q dans la formule relative à 33 (x) - 9: (y) la transforme en la suivante :
Js(x)35(y)—=35(20, x + y): 95 (20,2 —y)+ Ia (20, + y) + Ia (2p, x — y). (120)
Si l'on remplace x par S T— x, ct y par Sr — y, on obtient facilement, en avant égard aux formules (109) et (410) : 2(x)-3(y)= 35 (2p,x + y) -S5(2p,x — y) — Sa(2p, x + y) Sa(2p, 5 — y). (124)
En outre, de (412) on tire :
1. 4 ds (e 23 ) —ertte Sa (p; 2), ct, si l'on met 2p à la place de p, ds (20, z — ip) — esPtir.o, (2p, 2).
On trouve de même Ja (20, z — 1p) — este, ds (2p, z).
Si l’on change, dans (120), x en x — Sie y En y— 5 tp; on obtient, en passant par les exponentielles, Sa(x)-Sa(y)=Ss (20,2 + y): Sa (20, x — y) + Sa(2p, x + y) Ss(2p,x — y). (122) Enfin, si l’on remplace encore x et y respectivement par 3" © et
1 T il vient :
(x) (y) =S5(2p, + y) + Se (2p, x — y) — S:(2p, x + y Ss(2p,x —y).(125)
Les quatre formules (120) à (123) permettent de trouver un grand
nombre de relations entre les fonctions thêta. Nous allons exposer les plus importantes.
d. Faisons, dans les quatre formules fondamentales, y —x, et posons, pour abréger, Je (2p, 0) = das ds (2p, 0) = A3
Je (2p, 2x) = Es, ds (2p, 2x) = Ës.
Nous aurons alors les relations particulières suivantes :
[$ (x) — asËs — abs,
[Ts (x); = es — ske.
[Sa (x)]? —= œeËs + asbs,
[Ts (x)]° = asËs + ab.
Si l'on tire &, et Ë; de deux de ces équations pour les’ substituer dans les deux autres, on obtient des relations entre les carrés de trois des
fonctions thêta. Ainsi, par exemple, si l’on déduit £, et Ë; des deux premières, on trouve :
a LS = (et ES, &, De Ro (o)e HS fo (a)
as? + da?
Comme, en vertu des formules (108), x; et x sont des nombres réels et positifs, les équations qui précèdent, appliquées au cas particulier x—0, nous montrent que «3° — cet est positif.
Posons encore, pour abréger,
Juste as + aa?
k étant une fraction positive ; nous aurons alors :
