X. Des fonctions doublement périodiques

Les recherches précédentes conduisent sans difficulté aux propriétés principales des fonctions © (w) et H (w), qui, pour toute valeur complexe de w, sont définies par les équations suivantes :

@ (w) = 1 — 2e cos + 2e7!P cos 26 cos TU + …..,

+ #4, 3 4 b H(w)—=2y er sin a — 2 /e-tP sin a + 2er sin — .,

dans lesquelles on peut donner à pet à K des valeurs constantes quelconques réelles et positives. On a d'abord :

en outre, à cause de 93 (2) = 91 (: + : x) et3:(z) = É + ; r). ona

Ja (RE) = +R) ds FR) = (+R)

Des formules (110) il résulte, en remplaçant z par —

6(w+2mRK)—=68{(w), H(w+2mK)=(—1)".H(w). (127) De la même manière, on tire de (113), en y faisant xK’

K” étant une deuxième constante positive,

. . 2 (K/—tiw) 6 (w+1K')—1e"x + H (vw), | (128) TZ (K/— 350) H (rw + iK')— ie * -@ (w).

En outre, les formules (114) nous donnent :

= (nŸK/ — inv) 6 (w+2mK+1.2nK7) —(—1}"e" e(w), Tnt n/— in) H (eo +2mK+i-2nK')—=(—1}"tre" H (w), (129)

L TU —{Nw0

H [t0+(2m+1)K+1i.2nK']—(—1)" e" H(w+K),

Li LE (nn — in)

6[w+(2m+1)K+71:9nK7] = e" 6 (w+K).

En vertu de la valeur ci-dessus de p, on a, d’après (118), , TK » TU PR 73 de sorte que p’, z’ s'obtiennent, en changeant K et K’ l’un dans l’autre. Si l'on désigne les séries correspondantes

1 — 2e—P’ cos T +26 cos Si —....,

2/8 Fin De —2 JP sin 2e +:

par 6 (K’w) et HE (K’, w) on arrive à la transformation suivante des for-

mules (119) :