CR

Au moyen de (127), on déduit entre autres les propriétés suivantes de ces fonctions :

f(—uw)=—f{), R(—u)=t(u), R(—w)=h (x), (135)

f(w+K) = rt L (to + K)=—F.À me ‘ , (136) fa (ao + K) = f Co) - En outre, de (128) et (127) on tire :

f(w+ ik) — TC fi (wo + ik") = , (137) fa(w+iK') = —i

et plus généralement de (129) on déduit | f(w+2mK+1-.2nK)—=(—1)"f (w), | fi (eo + 2mK + 5. 2nK7) = (— 1)" fi (w), (138) fs (to + 2mK+1-2nK')—=(— 4)" fe (w).

Ces formules montrent immédiatement la double périodicité des fonctions f(w), fi (w) ct fa (w). Pour m pair, le second membre de la première équation devient égal à f(w), et par conséquent f(w) a une période réelle 4K, et une période imaginaire t-2K’. Dans la deuxième équation, le second membre est égal à fi (w), aussi bien lorsque m est pair, et n —0, que si m—n; par suite, f, (w) a une période réelle 4K, et une période imaginaire 2K + 1-2K’. Enfin, on reconnaît, au moyen de la dernière équation, que f: (w) a une période réclle 2K, et une période imaginaire ? - 4K”.

Si nous désignons par f (K’, w), f: (K’, w), fa (K”, w) les fonctions qui se déduisent de f(w), fi (w), fs (w), par le changement de K en K’, nous obtenons, au moyen des formules (150),

{(K’, w) 1 f (iw) — 5 (Kw) f, (uw) — TK, 0) 50 fo) = 2020)

ces formules réduisent les fonctions à arguments imaginaires aux fonctions à arguments réels.

Les équations (132) donnent, en divisant par [6 (w)}'.

[Co] + [fi (= 1, Lu | Re [ro] + [fs (= 1, | (0

d'où l'on tire, en passant, la conséquence [£a (0)]* — K? [fi (ao)]" = RE, (141)

La formule (133) est très-importante : elle conduit à une équation différentielle centre w et f(w). On a d’abord :

d f (vw

D er (w)- 1 (0)

"et, si l'on exprime fi(w) et f(w) au moyen des équations (140), on arrive à l'équation différentielle suivante :