K’ — À, (146) OV (—E)(1— KE

et par conséquent, K’ dépend de k’, comme K dépend de k.

À la fin de cette analyse, il est à peine nécessaire de remarquer que les fonctions f (w), f1 (w), fs (w) sont identiques aux fonctions elliptiques ci-dessus : sin am w, cos am w, Aamw. On peut donc profiter des fonctions thèta dès le commencement de la théorie des fonctions elliptiques. Mais nous ne pouvons passer sous silence qu'il reste toujours une lacune sensible. En effet, comme dans (145) la variable z est en général complexe, on doit, pour éviter une ambiguité possible de l'intégrale, indiquer un chemin déterminé d'intégration, ou bien l’on doit montrer l’influence que les différents chemins d'intégration exercent sur la valeur de l'intégrale. La théorie des fouctions thêta ne remplit aucune de ces deux conditions, et il cst toujours nécessaire de compléter par les recherches exposées au chapitre IL (page 104) (1).

(1) Jacobi a suivi, dans ses lecons, la marche des chapitres IX et X. On trouve une théorie détaillée des fonctions thèta dans l'ouvrage de M, Scagccpaca : « Die Lehre von den ellintischen Integralen und den Thetafunctionen. »

A — k? sin? am u —

XI. Des fonctions elliptiques de la deuxième et de la troisième espèce.

Les trois fonctions elliptiques principales de première espèce sont représentées par sin, cosy, A, si, à la place de w, on met l'inverse de l'intégrale

c'est-à-dire o — am u; de même, au moyen des intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèces E (+) et IT (g), on forme, par la même substitution, les nouvelles fonctions de l'amplitude E (am w), IT (am uw), que l’on a appelées fonctions elliptiques de deuxième et de troisième espèces. D’après cela, w est pour toutes les fonctions elliptiques la variable indépendante.

a. Si, dans l'équation

E(g)= [ Agdy,

on pose —am %, d'où do — À am u du, il vient :

E (am u) = | (A am u)? du — [ e — K3sin? am w) du. (147)

D’après cela, la recherche de E(am vw) se réduit à celle de J'sin* am u du. Pour obtenir le développement en série de E (am ), nous ferons usage de la formule trouvée ci-dessus (page 146) :

K—E . ru 29° 2ru + 9

SN amU—= —

d’où