DRE QUE EST DRE SRE ETES

K” Multipliant par du, et intégrant entre les limites u — 0, et u—#, on

obtient :

E 2T( 9Qq

E 27 .. TU qg? . ru E emu)=gu+ Kli—g sin L + 1 — 4 sin + (148)

Nous considérerons plus tard la partie périodique de cette série comme

E +R re 1q cos T4 29° 27u 3q° Re

unc nouvelle fonction de u, et nous la désignerons par Z (u) : on a alors

27( q . Tu q° 9ru q° Z(u= pk ti sin FT

Sin — Le +: À (149) ct E (am u) — = u + Zu). (150)

b. D'après la notation de Jacobi, on appelle intégrale elliptique de troisième espèce la suivante :

? ktsinacos a A(k,aæ)sin®® dp I (p, « À) = [ 1— Fsintæsino A(k,®)

dans laquelle l'arc à« peut être un nombre complexe. Si l'on pose ®—am uw, et que l'an considère « comme une amplitude quelconque «== am a, on a pour équation de définition :

II (am w, am a, À) “KsinamacosamaAomasinamu a a | ——— ——— du.

? ? 0 4 — k* sin’ am a sin? am u Nous désignerons dorénavant, pour abréger, le premier membre par le symbole plus simple II (#, a).

De la définition donnée il résulte d’abord

dIl(u,a) 1# sin am a cos am a À am a sin° amu

| du 4 — k3 sin° am a sin? am w (51)

et, par une différentiation nouvelle d'Il(u,a) 1 ke. 2 sin am w cosamaAama 2 sin am a cosam u A am du? 29 4—ksintamusinama 14— sin amu sin? am a

Au moyen des formules données ci-dessus (page 124) pour sino+sinr, sin o — sin 7, on trouve facilement que l'équation précédente se réduit à la suivante :

d'II (u, a)

Ds = ' k*[sin am (u+a)+ sin am (u — a)] [sin am (u+a) — sin am (u— a

laquelle se réduit à

“ere 9 = jh {sin* am(u+a)—sin*am(u—a)i. (152)

Si l'on fait usage du développement de sin’ am w, lequel subsiste pour

toutes les valeurs réelles de w, en y remplaçant d'abord # par w + a, et ensuite par # — a, on trouve :

d'IT(u,a) mn *=° n° nt (u—a) nt (u + a) Eu KE 1— qu K Kk ) Multipliant par du, ct intégrant, en observant (154) que, pour u = 0, ML) 6 1 vient :

du |

dIT(u,a) __r"= g" {si nr(u—a) . nr(u+a)),

nn =E 2) à sin — sin K

+ 2 sin

Une nouvelle intégration entre les limites # — 0 et u = u, nous donne

D "+ q" nr(u—a) . nr(u+a) IT (u, a) = — È à (1 = q°") eus K cos K 2T"=* q" . nra +u — sin

La dernière somme est égale à uZ (a). D’après cela, on a le développement suivant pour toutes les valeurs réclles de u :

T1 (u, a) = uZ (a) — : 1 {cos "9 — cos FE)

4 1— 9 4 q° 97 (u— a) ee) (153) T2 aq COS ou bien 4 2q . Ta. ru IL, a)=uZ(o)— 5 sin Lin 4 29° . 2xa . 2ru — = SiN —— Sin —— — +...

2 4—Q9 K K c. Au lieu de l'équation (153) on peut écrire plus simplement :

IL(u,a)—uZ(a)+f(u+a)—f(u— a), (154)

où la fonction f (w) a, comme on le voit facilement, la valeur

\ 1 q rw À 9 27rw DRE EE ETS EE er lois à Si l’on développe chaque terme au moyen de la formule q" | — qg*"

=q +" +qg+q"+...,

on obtient, en ordonnant autrement les termes des séries, f(w) = + q cos — +1 cos 2m + = L gs cos Cie + 19 K 57 K à | K .

2rw 1 5

+57 le cos + cos T0 LL.

g° cos + 59 COS + 5° cos

+1 s cos 7 + | 0 cos 27% + | 15 cos 7 + 17 SX “27 K "357 K

ou bien, d’après une formule connue,

— — — + 0 — 993 rw 6 ! 5 LL e ee e (1-2 COS + q )

En vertu des développements donnés au chapitre VIII, on a, en posant pour abréger,

pa À A — gr) (1 — g*) (1 — 9°).

la formule 1 TU 2rw STrw | f(w) = — = ]. —— COS —— — 24° COS —— +...

(w) 5 | je (: 2q cos Ke * 2q* cos K 2q° cos K + } ou plus simplement f(uw)=— 351 {P-6 (w)}- L'équation (154) se change alors en la suivante : —s) .

IL (u, a) = uZ (a) + SL. fete ET (155)

de laquelle il résulte que la fonction IT peut être ramenée aux deux fonctions 6 et Z.

d. La formule précédente ne subsiste, d'après sa formation, que pour des valeurs réelles de u et de a; il est nécessaire d'examiner si cette relation peut encore exister pour des valeurs complexes de w et de a. A cet effet, nous rappelons les formules exposées ci-dessus (p. 195).

3 (x) 3 (y) = 35 (20, x + y): Is (20, à — y) — Ia (2p, a+ y) Ia (2p, — ÿ) Ji(x) Sa(y)= 3s (20, x + y). De (2p, T — y) — Ia (20, x +Y) Is (2p, à — y); en posant, pour abréger, Is (20, x+Y)— 85 Is (2p, x — Y) — ts; Ja (2p, x+Y)—= 82, Je (2p, T — y) = ts, on a immédiatement S (x) 3 (y) = S3ls — Sala, Ji (x) Ji (y) = $5la — Sols.

Si l’on fait dans la première y — 0, et si l’on met, à la place de x, d'abord x+y, et ensuite T— y, on obtient les deux relations suivantes : 3 (0) 3 (x + y) = 83° — 82°,

3 (0) 3 (x— y) = tt — ta.

En vertu de l'équation identique (ssts — Sats)° — (Ssta — Sats)° == (CF — 82°) (ts° T— ts”),

il vient :

LS (x) 2 (y) — Lo (0) 9 (y = LS (0) 3 (x + y) 3 (x — 9), TU 2K

Si l’on divise les deux membres de cette équation par [@ (u) @ (v)}*, et si l’on a égard à l'équation

H (wo)

e(w) = /k sin am ty,

. Tu ou bien, en posant x — 2K” =

on obtient :

4 — k? sin? am u sin° am v =

ti

Prenons les logarithmes des deux membres, et différentions par rapport à v, nous aurons :

k* sin amusin amvcosamv Anmn e’(v) 41@/(u—v) 1e’(u+v)

4 — k*sint amu sin’ amv Ov) 2e(u—v) 2e(u+v)

Enfiu, si nous faisons v = a, si nous multiplions par du, et si nous intégrons entre les limites u — 0 et u—u, le premier membre devient IT (u, a), et l’on a, en général,

Nu, ou + SL fe)

Cette formule nous conduit à deux remarques importantes.

4° En la comparant avec (155), on conclut d’un côté que pour toute valeur réelle de a, on doit avoir e” (a)