Q)= ST
Pour généraliser, nous définirons pour toute valeur complexe de w, la fonction Z (w) par l'équation e’(w),
Lo) =:
par suite, Z (w) est une fonction monodrome bien déterminée. Si l’on divise (156) par a, si l’on fait converger a vers zéro, et si l’on pose :
lim a8 (a) — À, on trouve facilement u ?’ k3 sin? am u du — du — © @, 0 6 (u) par conséquent “ . 9’ (u) [ (1 — k*sin* am u) du— (1 — À)u + S{u)" (158)
Or, dans cette équation, qui subsiste pour toute valeur complexe de «, le premier membre est E (am u), que l’on peut écrire, en abrégé, E (u). Dans le second membre, le facteur 1 — À se détermine pour une valeur
particulière et réelle de w, en ayant égard aux équations (157) et (150).
On trouve ainsi 1 — À — 7 ; ct alors, de (458) on tire
Donc, la formule (150) s'applique aux variables complexes comme aux valeurs réelles de v. |
2° De (156) on déduit la formule suivante :
I (u, a) = uZ (a) + D Er ’ (160) laquelle est la généralisation de (155).
Les trois équations (157), (159) et (160), jointes aux formules (103), conduisent à ce théorème important que : Toutes les fonctions elliptiques peuvent être exprimées au moyen de la transcendante @ de Jacobi.
On peut, comme conséquences, en déduire de nouveau deux théorèmes déjà connus. La formule (160) nous donne, à causc de 8 (— w) — 0 (w),
IT(u,a)— (a, u)—= uZ(a) — aZ (u), où, en exprimant d'après (159) la fonction Z au moyen de E: IT (u,a)—II(a, u)—=uE (a) — aE (u).
C'est le théorème déjà mentionné précédemment (page 64) sur le changement d'amplitude et de paramètre.
On a, en outre, en vertu de (159) et (157),
5) rode=s( fre 21 D CS EE)
D'un autre côté, de (159) et (160) on tire :
E 1 , (e(u+a)) UE (a) — IT (u, a)=pau+s L. us 5 puisque les seconds membres de ces deux dernières équations sont les mêmes, on en conclut
a e“+e uE (a) — j E (vw) dw = IT (u, a),
formule identique à (79) de la page 63.
e. Des propriétés connues de @ (w), on déduit sans difficulté les propriétés correspondantes de Z (w) et II (w, a). Si l’on prend les logarithmes des deux membres de l'équation (150)
Kk e (iv) — VE e‘sH(v+K’,),
ou de l’équation identique à la précédente [en vertu de (103)]
7rvi e (iv) — Va eve (v, &’) cos am (v, 4’),
et que l’on différentie, en ayant “gere à (157), on trouve
iZ (0) = 2 (0, k) + — KT — tgam(u, k’) A am (u, k’), (164) Cette équation ramène la fonction Z d'un n argument imaginaire à la fonction Z à argument réel.
En partant de la formule
K Te oR += / ee (v, k')A am (v, 4’),
résultant de la combinaison de (150) et (103), on obtient de la même manière :
, TV k'3 sin am (u, k cos am (u, k’) Z(K+iw)=Z(v,k)+ — am)”. U62)
De même de la formule
. T7 iTu @ (u + 1K’) =: ke #* @(u) sinamu, q on déduit la suivante :
Z(u+ ik) = 2 (0) — 2e + cotgam u À am u, (163)
à laquelle on peut encore joindre la formule . .T Z (u + 21K") = Z (u) — 1 K’ | (4 64) correspondant à la relation
Si, dans (460), on met à la place de a, successivement 16, K + 56, a+ iK', et si l'on a égard aux formules (164), (162) et (163), on arrive aux résultats suivants : |
IL (u, 8) = u Ÿ2 (b, K)+ — tg am (b, #) A am (6, k)]
Ke ù | SE , (165) IT (u, K + 1b) = u L (b, k) + Le RS +5 ere) 130 IL(u,a+iK')—=u)Z(a) —: SK + cotgam a À am a
L se |
On trouve des formules analogues lorsque l’on remplace dans (160) u par iv, ou par K+tiv, ou par u +iK’. Mais, comme il est toujours possible de changer l’un dans l'autre, l'amplitude et le paramètre, il n'est pas besoin de nouvelles formules pour ces cas.
f. Finalement nous allons montrer comment l'intégrale de troisième espèce de Legendre
Ç 2 dp (+ h Ç __ sin? q dq (468) | oU+hsinto) Ap o AP o(t+hsin? p) Ag
peut être ramenée à la fonction IT pour une valeur quelconque de h, ct comment elle peut être calculée numériquement. Soit, dans tous les cas,
? do .
——=u, d'où p—amu; 169 [ A? P 2 ( ) en outre
h— — k% sin* am c; il viendra : ;
dz
TZ * 70) v/(1-= 2°) (1— krzi)
. — k SD 4MmC—= ————) e— | k 0
L'équation (168) devient alors, en général,
Ç do , fgame
oU+hsintq) A? + 1 H(u,c). (171)
Pour donner à cette dernière une forme plus usuelle, nous devons distinguer quatre cas pour h réel, c'est-à-dire
—kt Lh<O, —1 Lh<—R, h négatif, — @© Ch <—1,
0 <h<+oo, h positif.
Dans le premier cas, la limite supérieure de l'intégrale (170) est réelle et < 1; par suite, c est un nombre réel que nous appellerons a. On a alors immédiatement les formules suivantes :
= pence af EU, 0 V(1—2x?)(1—Ktx?) (472) H(p=u+ IT (u u, a).
Dans le deuxième cas, la limite supérieure de l'intégrale À — est
comprise entre 1 ct 2 et alors l'intégrale indiquée pour c (170), s'obtient
comme l'intégrale (35) de la page 110. On obtient pour c une expression de la forme K — 10 — 2K — (K + 1b); si l'on introduit cette condition dans (471), et si l’on a égard à ce que, en vertu de la signification primitive dcIT,ona
IL (u, 2K — y) = — IT (u, y),
on arrive aux formules suivantes :
1 k \ /1+- —1<h<—k, AV L de — 0 “0 V(1— x?) (1—#x?) (475)
À am (b, K) LI (u, K-+ 5b).
L(p=u+ Fssin am (b, k’) cos am (b, k”)
T est comprise entre ; et + , et alors l'intégrale indiquée pour c (170) se transforme comme l'intégrale (35) de la page 111. On trouve ainsi pour c une expression de la forme 2K — a — :K’. D’après ces remarques, il vient : 1 | VA dx ZX?
0 VAT — x?) (1 — kr) (174)
Dans le troisième cas, la limite supérieure
Dans le dernier cas, est imaginaire, et alors on doit traiter
k l'intégrale (170) comme on l’a fait précédemment (page 109) pour l’intégrale (31). On trouve ainsi pour c une expression de la forme tb, et l’on a,
en général, OLh£<+to, b— BE dE
0 Vas) Aa) À a73) sin am (b, k’) cos am (b, k) .
= ue ———" "ET II (ue, 2).
IL (p) Aam (b, k’) ( ? ) Les formules (170) et (171) subsistent aussi pour À imaginaire; seulement,"on a besoin d’une recherche particulière pour déterminer la quan-
tité c de l’équation sin amCc=— y —h .
k Soient maintenant
h=m+in, c—a+ib, (176)
m et n désignant des quantités données, a et b des quantités inconnues. L'équation ci-dessus est alors identique à
sin am (a + 1b) — TT — ;
et il s’en suit :
EPP cos am (a + ib) — Vhrmtin, Aam(a+1b)=y/1+m+in.
Les scconds membres de ces trois équations sont composés de quantités connues, et peuvent être mis sous la forme re. Si nous posons d’après
cela :
V—m—in—=r (cos 0 +1 sin 6), V'Kt + m + in = ri (cos 9 + x sin 01), (477) V'1+m+in = ra (cos 0 + 1 sin 02),
nous pouvons considérer, dans ce qui suit, r, T1, las 0, 01, 0, comme des quantités réclles connues, et nous avons les trois équations
r(cos0 +3 sin 6)
rs (cos 01 + 1 sin 6) RS 9
A am (a+ 1b) = ra (cos 0: + à sin 04),
sin am (a +-1b) —
cos am(a+1b) =
auxquelles correspondent les suivantes :
r (cos9 —1 sin 0)
