Cela posé, soit la fonction

w=f()=f(x+yp—t)=u+0y— 1.

Nous pouvons considérer uw, v, comme les coordonnées d’un point P mobile sur un plan (fig. 2), et rapporté à deux axes rectangulaires OU

et OV. Nous l’appellerons le point w, ou le point u+vp/ — 1. Il est évident qu'à un point M (x+y}y/ — 1) choisi arbitrairement,

correspond un point P (u + 14 —1) déterminé. Pour un chemin donné AMB du point mobile M, on aura un chemin déterminé aPb du point P. Par suite, à chaque chemin choisi arbitrairement du point M, correspond une courbe déterminée sur le plan UV.

Si la courbe AMB est continue, la courbe aPb sera aussi continue, pourvu que ”, v, soient des fonctions continues de x, y. Nous dirons alors que la fonction f (z) est une fonction continue de la variable ima-

ginaire 2=2+yy— 1.

&. Il existe deux espèces de fonctions de variables imaginaires :

4° Les fonctions qui ne prennent qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable. Telles sont, par exemple, les fonctions algébriques rationnelles, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont appelées monodromes : cette dénomination est due à Cauchy. M. Liouville les appelle fonctions bien déterminées : ce nom a été adopté par M. Bertrand (Traité de calcul différentiel, I, 373). Une fonction f(z) peut n'être bien déterminée que dans une certaine étendue des valeurs de la variable. Elle peut même devenir infinie, mais alors son inverse GG doit être bien déterminée à partir de la valeur zéro.

2 Les fonctions qui, pour chaque valeur de la variable, prennent deux ou plusieurs valeurs distinctes. On les appelle fonctions ambigues ou fonctions à plusieurs acceptions. MM. Liouville ct Bertrand les appellent fonctions mal déterminées ou mal définies.

Telles sont, par exemple, les fonctions irrationnelles, les fonctions

logarithmiques : ainsi, V4 z — a a deux acceptions, 4 z en a trois, log z admet, pour chaque valeur de z, une infinité de valeurs distinctes.

Les fonctions monodromes ont reçu de M. Hermite le nom de fonctions uniformes : il donne aux fonctions ambigues le nom de fonctions non uniformes.

6. Nous ferons une remarque très-importante pour les fonctions ambigues, ou à plusieurs acceptions. Elle consiste en ce qu'il existe des valeurs

particulières des variables pour lesquelles deux ou plusieurs valeurs de la fonction deviennent égales.

Ainsi, y/z, en général, a deux valeurs différentes : cependant, pour z = 0, ces deux valeurs deviennent égales entre elles, et sont nulles.

Soit, par exemple, une fonction continue de la variable z2=— x +1y; soient u + iv, U+ iV, les deux valeurs différentes que prend cette fonction pour chaque valeur de z, et supposons que, pour z2=—4a=— « + 16, ces deux valeurs se réduisent à une seule y +10. Il est évident que chaque point M (x+iy) donne deux points P, Q, dont les coordonnées sont uw, v, pour P, et U, V, pour Q; par conséquent, tandis que M décrit la courbe AB, les points P et Q décrivent les deux courbes ab et a’b’ (fig. 3).

Cela admis, si la courbe AB ne passe pas par le point C, dont les coordonnées sont «, B, on n'aura jamais en même temps x —a, y =, c’est-à-dire jamais z — @. On n'aura donc jamais u—U— «, v—V—f; par conséquent, les courbes ab et a’b’ n’auront pas de point commun. Au contraire, si le chemin AB passe par le point C les conditions précédentes seront satisfaites, et les deux courbes ab, ab’ auront un point commun D.

Le point C porte le nom de point de ramification, ou point d’embranchement.

Tuéorème. — Les courbes ab, ab’ ont un point commun ou n’en ont pas, suivant que le chemin de z passe ou non par un point de ramification.

2. Supposons maintenant que le point mobile z2=— x+ 1y puisse aller d’un point initial Zzo = %o + yo à un point z = %1 + ty, par différents chemins. Voyons ce qui résultera pour une fonction continue et monodrome f(z) d'un changement de chemin pour z entre ces deux points extrêmes. Soient

f (2) = Uo + Vo, f (z:1) = Us + 104,

les deux valeurs extrêmes de f(z). Tandis que M va du point A en B par le chemin AMB, P va de a en b par le chemin aPb. Si M va de A en B par un autre chemin AM'B, alors P parcourt une autre courbe, et, partant de a, il aboutira encore en b (fig. 1 et 2): sans cela, à la même valeur Zi Li + 11, Correspondraient deux valeurs différentes de f(z), ce qui cst impossible, puisque f (2) est monodrome.

THéoRÈME. — Pour toute fonction monodrome, la valeur finale f(z:)

est indépendante du chemin par lequel z va de la valeur initiale z à la valeur finale z1.

8. PROPRIÉTÉ. — Si le chemin parcouru par z est une courbe fermée, alors la valeur finale de z, et, par conséquent, aussi celle de f (2) est la même que la valeur initiale. Par suite, la courbe décrite par f (z) est aussi fermée.

9. Si la fonction considérée n’est pas monodrome, les raisonnements précédents ne sont plus applicables.

Considérons, par exemple, une fonction ambigue, admettant deux acceptions. On doit alors distinguer deux cas :

4° Ou bien le point z décrit une courbe qui ne passe pas par un point de ramification. |

2° Ou bien le chemin parcouru par le point z passe par un tel point.

20. {°° cas. — Soit AMB le chemin décrit par le point z sur le plan xy : à ce chemin correspondent, par exemple, deux courbes ab, a’b’ qui n'ont aucun point commun. Si le chemin AMB change infiniment peu, à cause de la continuité les courbes ab, a’b’ changent aussi infiniment peu (fig. 4). Mais les deux nouvelles courbes se trouvent, comme les deux premières, à des distances finies l’une de l'autre. Par conséquent, il est impossible par un changement infiniment petit de changer les deux courbes l’une dans l’autre. En répétant plusieurs fois cette opération, c’est-à-dire si l’on fait subir un changement continu à la courbe AB, de telle sorte qu'aucune des courbes AB ne passe par un point de ramification, on peut appliquer à chaque courbe ab, a’b', ce que nous avons dit pour les fonctions monodromes.

TuéoRÈèME. — S1 le point M parcourt une courbe fermée, ne renfermant aucun point de ramification dans son intérieur, chacun des points a, a, parcourt de même une courbe fermée.

A4. 2° cas. — Supposons maintenant que l’une des courbes AB, décrites par le point M, passe par un point de ramification C, et soit D le point correspondant sur le plan UV (fig. 5).

Tandis que M va de A en C, le point P va de a en P; à partir de C, lorsque M va de C en B, la fonction a deux acceptions : par suite, rien ne nous oblige à faire correspondre la courbe Db à CB.

Nous pouvons parfaitement faire décrire au point P le chemin Db’, et ensuite, tandis que M reviendra au point À par un autre chemin, faire

décrire à P le chemin b’a’, et revenir en a’ avec une valeur de la fonction différente de celle qu’elle avait en a. Le point P aura alors décrit le chemin Dab'a’, pendant que le point M décrit le chemin ACBA.

Tuéonème. Si le point M parcourt une courbe fermée, renfermant un point de ramification, il n’en résulte pas que les points P et P’ décrivent des courbes fermées. En d’autres termes, il ne résulte pas de là que {a fonction reprenne sa valeur initiale lorsque le point M revient à son point de départ.

Remarque. — Les raisonnements précédents subsistent évidemment aussi pour les fonctions qui ont plusieurs points de ramification et plusieurs acceptions.