CL È
V ) celle qui transforme (a, 6, c) en (m, 2/1, -f- 0, pj.
On a
2^0 + p = aaotjî H- 6(aô H- Py) -I- 3CY0 anj -+- p = 2ax^' + 6(a8' -4- ^'y) H- aoyô'.
D'autre part de
ah — Py = aS' — Sf
on lire
,Ê' =z ^ -h Xa Ô' = 6 -+- Xy
X étant un entier. Donc
an, -\- '■^=^ iaa{'p -h Xa) ■+ V^l^^ -f- Xy) H- y(P -f- Xor)] H- 2Cy(X -4- OY
= 2no + p -f- 2(ax* -f- 6t'|' -h"cY*)X t= 2^0 -f- p -t- amX d'où
de sorte que n^ et «j sont la même solution au module m près. Enfin nous remarquons que toutes les substitutions qui trans-
n,, -h HnO
forment (a, 6, c) en \m, in^ H- c, / se
tu ^ \
déduisent de l'une d'elles ( " '''^\ par la formule
Vïo <io/
( '^) étant une substitution automorphe de (a, 6, c), de sorte
que les valeurs générales de a. et y sont X^o -i- p.yo. vao -I- /syo.
Résumé. — Pour trouver les solutions de l'équation diophantienne
ax^ ■+- hxy H- cj' = m
il Jaul poser la congruence
n^ -i- on — ^ ^ o (mod m).
Si cette conr/raence est impossible l équation l'est aussi. Si cette congruence est possible on cherche toutes ses solutions satisjaisant à (7) o < n < m.
Soit «0 l'i^ne d'elles. On cherche si les formes
et m, ano -h p,
sont de même classe. Si elles ne le sont pas^ à la solution n^ de la congruence ne correspond pas de solution pour F équation. Si elles
le sont, soit ( " g ) une substitution modulaire par laquelle on
passe de la première Jorme à la seconde.
A la valeur n^ correspond la solution a; = a, y = 7 et d'une façon générale toutes les solutions x = Xkq -h [j.'/^, y = vao + pyo
vil {,' ^) désignent toutes les substitutions automorphes de
Le nombre des solutions ainsi obtenues est égal au nombre des valeurs de n satisfaisant à la congruence (5) et aux conditions (7), multiplié par le nombre des substitutions automorphes de (a, b, c).
Ce nombre est fini si (a, 6, c) est une formî définie, il est infini ■dans le cas contraire.
De cette façon, à une solution de l'équation correspond une racine de la congruence (on dit que cette solution appartient à •cette racine), mais à une racine de la congruence peut correspondre toute une série de solutions de l'équation en nombre fini ou infini.
Exemple. — Résoudre l'équation diophantienne (n' 139) 2x2 6a;^ ^ ^2 ^ X 33^
Ici b est pair. La congruence (5) est
n^ = '] (mod 7 X 83) qui a deux solutions (mod 7 X 83), à savoir
"'^-7^'^ (mod 7X83).
/Il = 7 X 26 ' '
APPLICATION A l'analyse DIOPHANTIE.N.NE 335
Il y a à considérer les deux formes
<7 X 83, — 2 X 7 X 36, 5;) et (7 X 83, 2 x 7 X 26, 57).
Prenons d'abord la première. Il faut voir si elle est de même classe que (2, — 6, i). La première racine de (7 x 83, — 2X7 X 26, 67) •développée en fraction continuelle donne
58i ^3 + |6h- ih- 4+ iH-li+l
La première racine de (a, — 6, i) donne
Les deux formes sont de même classe. On trouve que les substitutions par lesquelles on passe de la seconde à la première sont :
(: o) X il' If X (- 19 e)
/6ar„-+-3Y„- 38?„ - i95„...\ \33t„ — 193,, ../
€n posant
/Il 6\"/a„ ^„\
I9 5; -\y„ sJ-
On a donc les solutions
x = 6oc„-]- 3y„— 38,3„ — 190^ y = 3a„— i9^„.
La forme (7 -+- 83, 2 x 7 X 26, 57) fournirait aussi des solutions.
Théorème. — Si un entier m est représeniable primitivement dans une classe de déterminant A, tout diviseur m' de m est aussi représentable primitivement dans une classe de même déterminant [les deux classes dans lesquelles sont représentées m et m' n'étant pas Jorcément les mêmes).
Ce théorème résulte immédiaten:ient du théorème II du n" 180.
182. — On vient de montrer que la résolution de l'équation diophantienne du second degré à deux variables se ramène à la question de l'équivalence de deux formes quadratiques. Récipro-
336 THÉoniE DES >OMBRES
quement on peut ramener la seconde question à la première. On est ainsi conduit à une expression de l'équivalence de deux formes qui nous sera utile.
Pour que deux formes (a, 6, c) et (a' , b' , c') soient de même classe il faut et il suffit évidemment qu'il existe quatre entiers of. /3. 7. ^ satisfaisant aux équations
/ «2 - Py =1
\ ax2 -f- 6atY H- CY« = a'
'' ^ aax^ -h 6(ac; -+- Py) -j- uc^?j = 6'
a^» + 6^5 -+- cS^ = c'.
Mais on sait que ces conditions entraînent que les deux formes ont même déterminant. Supposons cette condition remplie, elle supprime la dernière des conditions précédentes, car si deux formes ont même premier coefficient, même second coefficient et même déterminant, elles ont même dernier coefficient. On peut donc dire que les conditions nécessaires et suffisantes pour que (a, 6, c) et (a', 6', c) soient équivalentes sont que
1° elles aient même déterminant ;
2° que l'équation diophantienne
aa^ H- fcaY -+- CY* = a' soit résoluble ;
3° que les valeurs de jS et cî* tirées de la première et de la troisième des équations (8) c'est-à dire
b' — b b' -hb
a — CY Y -}- ao!
soient entières (6 et b' sont de même parité, puisque les deux formes ont même déterminant.
En résumé pour que les formes {a, b, c) el (a', b', c') soient de même classe il faut et il suffît
1° qu elles aient même déterminant ;
2° guil existe des entiers a, /, satisfaisant aux conditions
yî 1 htv -L. /»v2 rr= m
(mod a')
APPLICATION A l'aNALTSE MOPHANTIEISNE SSy
183. — Nous terminerons ce chapitre par des théorèmes qui seront d'un usage fréquent dans la suite.
Théorème I. — Etant donnée une jorme primitive (a, 6, c) et un nombre premier p, on peut trouver un entier représenté par la fo^me et non divisible par p.
En effet si a ^ o (mod p) cet entier a répond à la question.
De même si c ^ o (mod p) il répond à la question.
Enfin si a ^ c ^ G (mod p), alors on a 6 ^ o (modp) puisque la forme est primitive. Alors l'entier a + 6 -h c (représenté pour X = y = i) répond à la question.
Théorème II. — Etant donnée une forme primitive f[x, y) et un entier m, on peut trouver un entier représenté primitivement par J{x. y) et premier à m.
En effet soient p,, Pi, ... les facteurs premiers de m.
On déterminera «1, y, de façon que /(xi, y,) ne soit pas divisible par pi puis x.^, y.j, de façon quo,f(x.2, jj) ne soit pas divisible parjDj, etc.
Ensuite on détermine x, y, par les conditions
a; = x, (mod/>,) J'=Ji ('«od />,)
X = x, (mod Pi) y = Js ("ïocl Pj)
On aura
/(^, J) =/(3^i. Ji) (modp,) donc/(x, y) n'est pas divisible par pj. De même il ne l'est pas parpï, ..., donc/(x, y) est premier à m.
Si X et y sont premiers entre eux le problème est résolu. Sinon
onconsidère/(p^, g^L).
Théorème III. — Dans toute classe primitive on peut trouver une Jorme dont le premier coe/Jîcieni soit premier à un entier donné m.
On prendra une forme f{x, y) appartenant à la classe. On déterminera a, y premiers entre eux de façon que /(a, y) soit premier à m. Puis on déterminera |3, â par la condition aâ' — pV = I ; et enfin on fera sur f{x, y) la substitution
y ^] ; on obtiendra une forme répondant à la question. On voit même qu'il existe une infinité de ces formes.
Caben. — Théorie des nombres, t. II. aa
I. — Vérifier que les couples de formes suivants sont à la fois proprement et improprement équivalents, et trouver les substitutions par lesquelles on passe de la première à la seconde
(aôi, a4o, 66) et (5, i6, i/j)
(i,2, — 4) et (— i45, — 210, — 76) (a. 3, — 4) et (64, 5i, 10).
II. — Vérifier que la forme (3, 2, — 2) contient la forme (3, — i4, — 21) et trouver les substitutions par lesquelles on passe de la première à la seconde.
III. — Vérifier que la forme (i, i, 2) contient la forme (7, — 7, 8) et trouver les substitutions par lesquelles on passe de la première à la seconde.
Remarquer que les formes sont bilalères; il y a des substitutions de déterminant 4- 5 et des substitutions de déterminant — 5 répondant, à la question.
