DECOMPOSITION DES ENTIERS EN UNE SOMME DE DEUX CARRES

187. — Un entier m satisfaisant à la condition (5) du chapitre XIII, nous savons qu'il est représentable primitivement dans une ou plusieurs classes de déterminant A. Nous savons de plus trouver ces classes lorsque l'entier m est donné numériquement. Mais on peut demander de plus quels sont les caractères communs à tous les entiers représentés par une même classe. Autrement dit, connaissant les différentes classes de déterminant A, pourra-t-on reconnaître a priori par certains caractères, qu'un entier m est représentable dans telle ou telle classe.

Ce problème ne sera résolu (autant qu'il peut l'être) que plus loin. Pour le moment nous allons examiner un cas particulier dont la solution nous guidera pour le cas général, à savoir le cas de D^= 4-

Il n'y a qu'une classe de discriminant 4 (n° 184) celle de la forme (i, o, i). Dire qu'un entier est représentable dans cette classe c'est donc dire qu'on peut le mettre sous la forme x^ 4- J^ autrement dit qu'on peut le mettre sous la forme d'une somme de deux carrés.

D'après le n* 180 la condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier m soit représentable primitivement par la forme (i, o, i), autrement dit pour qu'il soit décomposable en la somme de deux carrés premiers entre eux est que la congruence

(i) X* ^ — I (mod m)

soit possible.