DÉCOMPOSITION DES ENTIERS EN UNE SOMME DE DEUX CARRES
188. Nombre des solutions. — Nous distinguerons les représentations d'un entier par une somme de deux carrés, et les décompositions d'un entier en une somme de deux carrés. Deux représentations x^ + y^ et x'^ -\- y'^ ne sont dites identiques que si X = x\ y=iy'. Alors le nombre des représentations primitives d'un entier m est égal (n° 181) au nombre de solutions de la congruence (i) multiplié par le nombre des substitutions automorphes de (i, o. i) ; c'est-à-dire à quatre fois le nombre des solutions de la congruence (i).
Au contraire deux décompositions d'un entier en sommes de deux carrés sont considérées comme identiques lorsque les carrés constituants sont les mêmes dans les deux décompositions quel que soit leur ordre et le signe de leurs racines. Le nombre des décompositions est donc plus petit que le nombre des représentations.
Considérons les quatre substitutions qui transforment (i, o, i)
en (m, 2n, p). L'une d'elles étant [^ K) les autres sont
Donc à une solution de la congruence correspondent quatre représentations primitives :
Ces quatre représentations sont distinctes sauf si l'un des deux nombres a, y est égal à zéro, ou s'ils sont égaux en valeur absolue, ce qui joint à ce que ces deux nombres sont premiers entre eux fait que cela ne peut arriver que si m = i ou 2.
Laissant ces cas de côté, ces quatre représentations sont distinctes, mais elles ne donnent qu'une décomposition de m en deux carrés.
De plus si la congruence (i) a la solution n elle a aussi la solution — n qui en est distincte (m n'étant égal ni à i ou à 2). A la solution — n correspondent les quatre représentations
distinctes des quatre précédentes, mais qui donnent la même décomposition de m en deux carrés. De sorte qu'en résumé il y a
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huit fois moins de décompositions que de représentations et l'on a le théorème suivant :
Le nombre de décompo s liions de m en deux carrés premiers entre eux est égal à la moitié du nombre de solutions de la congruence, sauf s i m = i ou 2.
Pour m = I ou 2 le nombre de décompositions est un car I = o* -h 1' et 3 = I* -4- 1^
Théorème I. — Tout nombre premier m congru à i [mod 4) est rcpréseniabh de huit façons par la forme x^ -+- y^ et décomposable dune seule Jaçon en une somme de deux carrés (').
Car dans ce cas la congruence (i) a deux solutions. Donc m n'est déconiposablc que d'une façon en une somme de deux carrés premiers entre eux. D'ailleurs m étant premier n'est pas décomposable en une somme de deux carres non premiers entre eux.
Exemples.
5=i2-+-2s, i3 == 2^ -f- 3*, 17=12 + 42. etc
Théorème II. — Tout nombre premier congru à — i (mod 4) n'est pas décomposable en une somme de deux carrés.
Car dans ce cas la congruence n'a pas de solutions. Donc m n'est pas décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux. Et il ne l'est évidemment pas non plus en une somme de deux carrés non premiers entre eux.
D'ailleurs ce théorème se démontre sans peine indépendamment de la théorie précédente, car on voit que, quelques valeurs entières qu'on donne à X et y, l'expression x^ -h y^^ ne peut être congrue à — i (mod 4).
Théorème III, — Tout entier impair différent de i et dont tous les facteurs premiers sont congrus à i (mod 4) a 2'''^^ représentations et 2''"' décompositions primitives, h étant le nombre de facteurs premiers difîérents. En efTet, dans ce cas, la congruence (i) ^st possible et elle a 2'' solutions.
Exemples.
Remarque. — Le premier de ces résultats relatif aux représen- <') Enoncé par Fermât, démoQtré par Euler.
