DÉCOMPOSITION DES ENTIERS EN UNE SOMME DE DEUX CARHÉS

talions primitives s'applique aussi à l'tntier i, car dans ce cas A = o et il y a bien quatre représenlalions primitives. Mais le second résultat relatif aux décompositions primitives ne s'applique pas.

Théorème IV. — Tout entier impair dont les fadeurs premiers ne sont pas tous congrus à i {mod 4) n'est pas décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux.

Car dans ce cas la congruence (i) est impossible.

Théorème V. — Tout entier simplement pair 2m' a autant de représentations et de décompositions primitives que l'entier m'.

Car la solution de la congruence (i) se ramène à celle des deux suivantes

x^ ^ — I (rr.od m) x' ^ — I (mod 2)

et la seconde a une solution.

Ce théorème peut aussi se démontrer de la façon suivante : De

on déduit

2m' = {a ■+■ by 4- (a — 6)^

et l'on verra facilement qu'à toute décomposition primitive de m' correspond ainsi une décomposition primitive de 2m' et réciproquement.

Le résultat s'applique aussi au cas de m' = i car 2 et i ont chacun quatre représentations primitives et une décomposition primitive.

Théorème VI. — Un entier divisible par 4 n'est pas décomposable en une somme de deux can es premiers entre eux.

Car dans ce cas la congruence (i) est impossible.

D'ailleurs ce théorème se démontre sans peine indépendamment de la théorie précédente, car il est évident que si l'on donne à X, y deux valeurs entières premières entre elles et par conséquent non toutes les deux paires, l'expression x^ + y^ ne peut être divisible par !\.