Décompositions non primitives. — Pour trouver les

décompositions d'un entier m en une somme de deux carrés non premiers entre eux, il faut diviser m par tous les carrés d^ différents de 1 par lesquels il est divisible, chercher les décompositions primitives de -n et multiplier les deux termes de chaque

décomposition par d*.

Théorème I. — Si un entier contient un ou des facteurs premiers congrus à — i {mod 4), et si ces facteurs ne sont pas tous à un exposant pair, cet entier n est pas décomposable en une somme de deux carrés.

En effet, par quelque carré (/- qu'on le divise, le quotient contiendra toujours un ou des facteurs premiers non congrus à i (mod 4) et par conséquent ne sera pas décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux.

Théorème II. — Si un entier m contient un ou des facteurs premiers congrus à — i [mod 4) et si ces facteurs sont tous à un exposant pair, soit n* leur produit ; pour avoir toutes les décompositions de m en deux carrés iljaut prendre toutes celles de

et ton a toutes les décompositions de m :

m = (nxy + (ny)^.

Il suffit de démontrer que si l'on a

m = X2 -f- Y^ le plus grand commun diviseur </ de X et Y est divisible par n. En effet, on a la décomposition primitive de ^

Si d n'était pas divisible par n, l'entier tô contiendrait encore

des facteurs premiers congrus à — i (mod 4) et la décomposition primitive précédente serait impossible.

Théorème III. — Si un entier m contient le j acteur a à l'exposant k, pour avoir toutes les décompositions de m en deux carrés il