DÉCOMPOSITION DES ENTIERS EN UNE SOMME DE DELX CARRES
Jaut prendre celles de ^.^ {o = o ou i suivant que k est pair ou
impair)
et fan a toutes les décompositions de m ■
l ^~P \^ ' fc — p \2 m = \2 ^ xj -h \a ^ y! .
Ce théorème se démontre comme le précédent, en s'appuyant sur les théorèmes V et VI dn n° précédent.
190. Théorème. — Si un entier est la somme de deux carrés premiers entre eux, il en est de menu d'un diviseur quelconque de cet entier.
Ce théorème est un cas particulier de celui de la fin du n** 181. On peut aussi le déduire directement de ce qui précède. Car on voit que les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un entier soit décomposable en une somme de deux carrés premiers entre eux est qu'il ne contienne comme facteurs premiers que des facteurs congrus à i (mod 4) et le facteur 2 à la première puissance au plus.
Or si ces propriétés appartiennent à un entier, elles appartiennent aussi à ses diviseurs.
Les résultats de ce chapitre s'étendent à toute forme de même classe que x^ -+- y*. En effet à toute représentation primitive d'un entier par l'une de ces formes correspond une représentation primitive par l'autre.
Seulement il ne faut tenir compte que des résultats relatifs au nombre de solutions de x* •+- y* = m et non de ceux relatifs à la décomposition de m en deux carrés.
Exemple. — L'entier 5 est représentable de huit façons par la forme x"^ -+- j* et ces huit représentations ne donnent qu'une décomposition en deux carrés.
Si au lieu de x^ ■+■ y'^ on prend la forme de même classe 2x2 ^ Qxy -+- ôy* on a encore huit représentations de 5, à savoir pour
!x = o ix = — 4 (a:=3 ix = 5 (x = o {x = l\ ix = —3 ix = — y = i (j=3 iy=—i (j = — 3 \y=—i (y=— 3 (y = i (y^S
THEOHIE DES NOMBRES
qui donnent quatre décompositions de 5
I. — Trouver tous les entiers décomposables en une somme de deux triangulaires.
De
on déduit
etc.
II. — Sur le nombre total des représentations, primitives ou non,, d'un entier par la forme x^ -h y^.
Théorème. — Si Ion pose
p, p' ... étant les facteurs premiers de m congrus à -+- i (mod fi) et q, q', ... étant les facteurs premiers congrus à — i {mod 4), '<? nombre total v(»i) des représentations de m par lajorme x^ -t- y^ est
v(/n) = o Si' les p ne sont pas tous pairs
v(m) = 4 I I (01 H- 1) si les 2 sont tous pairs.
La première partie de ce théorèm ( n'est autre que le théorème I du n° 189. Pour la seconde partie les théorèmes II et III du même numéro donnent
v(m) = v(/>V* •••)• On démontrera d'abord que la fonction ^^^ est régulière (I.''4o4) donc que v(m) = v(/)^)v(/)'°' ) ..., ensuite que
Théorème. — Le nombre total des représentations de m par la forme x^ l j» ggi égal à quatre fois l'excès da nombre de ses diviseurs qui sont congrus à i {mod 4) sur le nombre de ses diviseurs qui sont congrus à — I (modli) (').
II suffira de démontrer que cet excès est égal à I 1 (^t + i).
Pour cela on démontrera que c'est une fonction régulière de m,
ensuite on examinera successivement les cas de m = p'^y m = q^,
On peut aussi écrire
Enfin si Ton pose
p, p, ... représentant ici tous les facteurs premiers de m sans distinction, on peut écrire :
(1) Lejeune DiRicHLET, J. T. ù. M , t. 2 1 (i84o), p. 3 = Werkc, t. i, p. 463. Lejeune Dirichlel démontre ce théorème par de tout autres procédés^ que nous rencontrerons plus lard.
