DONT UN ENTIER DONNÉ EST RESTÉ QUADRATIQUE
LOI DE RECIPROCITE
191. — On a, dans le chapitre précédent, étudié les propriétés générales des entiers représentés dans la classe de la forme (x* + y^) ; en particulier on a démontré que ceux d'entre eux qui sont premiers sont identiques aux nombres premiers congrus à i (mod 4).
Si nous voulons chercher des propriétés analogues pour une classe quelconque nous commencerons par remarquer qu'une condition nécessaire pour qu'un nombre premier/) soit représcn* table primitivement est que la congruence
^ X* H- px -. — - ^ o (mod p)
soit possible. Ce qui exige
et l'on est amené à la question suivante :
Etant donné an entier a, trouver les nombres premiers impairs p
tels que ( - j
Mais l'entier a peut se mettre sous forme d'un produit de facteurs premiers, multiplié, si a est négatif, par — i. Or le caractère quadratique d'un produit de facteurs est égal au produit des caractères quadratiques des facteurs. Nous aurons donc à
LEUME DE GAUSS 353
résoudre le problème proposé successivement pour a = — i, pour a= 2, pour a = un nombre premier impair.
Cas de a = — i . — Ce cas a déjà été traité (n° 10), on a vu que
( j = +- 1 lorsque/) est congru à i (mod 4) et ( j = — i
lorsque/} est congru à — i (mod 4).
Pour traiter les autres cas nous ferons usage d'un lemme dû à Gauss.
192. Lemme de Gauss. — Soil un nombre premier impair p et un entier a non divisible par p. On forme les produits
(i) la ia ... ^ a
et on calcule leurs restes minimums {I. 87) par rapport à p.
1° Ces restes sont, en valeur absolue, égaux à i, 2, ...
{mais non pas en général dans cet ordre).
2° Si parmi ces restes il y en av négatifs, on a
\pi
En effet i' les valeurs absolues des restes minimums sont certains des nombres i, 2, ... ^ . De plus elles sont au nombre
de ^ ^- ; il suffit donc de montrer que deux d'entre elles sont
différentes.
Or si deux d'entre elles correspondant aux produits ha et ka
étaient égales, on aurait
ha ^dz ka (mod p) {h >> k)
ou
{h zf. k)a^o (mod p).
ce qui est impossible, car les entiers h — A: et h -\- k sont tous deux compris entre o et/) et a n'est pas divisible par p. 2° Soient
Œi, «2, ... *p— I ces restes.
a Garin. — Théorie des nombres, t. II, 33
On a
(i.a) (aa) ... y ~ ^ a\ = aiatg ••• afp, mod/))
OU
i,a...^-^.a" =(— i)" 1.2... ^-^ (modp) ou enfin
a ^ ={-iy {modp).
Donc
Application dalemme au cas de a = — i. Bien que le cas de a = — i ait déjà été traité, on peut le traiter à nouveau comme application du lemme précédent. Si a = — I, les produits (i) sont égaux à
a Ils sont à eux mêmes leurs restes minimums. Alors
Donc
193. Application du lemme au cas de a = 2. Si a = 2 les produits (i) sont égaux à
Les premiers d'entre eux inférieurs à - sont à eux mêmes leurs
restes minimums, lesquels sont par conséquent positifs. Les restes minimums suivants sont au contraire négatifs. Le nombre v est donc le nombre des termes de la suite (2) qui sont plus grands
que ^ . Nous distinguerons maintenant deux cas.
