Loi de réciprocité. — Entre deux nombres premiers

impairs p et q on a la relation

(*) Ce théorème était connu de Fermât. La première démonstration publiée est de Lagrange (Nouv. mém. de VAc. de Berlin, 1775, p. Sig, 35i}.

Autrement dit :

,q/ \pj

sauf si p et q sont tous deux congrus à — i (mod 4) (*)

Parmi les nombreuses démonstrations qui ont été données de ce

théorème nous choisirons ici celle de Kronecker (^).

Considérons la suite

Nous allons chercher à quelles conditions un terme hg de cette suite donne un reste minimum négatif par rapport à k. Il faut pour cela et il suffit qu'il existe un entier k tel que

Ces deux inégalités se résument en une seule

OU

(h k\lh \ k\

\p q) \p "^ ag q)

D'après la forme (3) de la condition on voit que si l'entier k existe il est unique, que d'ailleurs il est positif et plus petit que

- lequel est lui même plus petit que -+- i. Donc

si k existe c'est un et un seul des nombres i , 2 , ... ^ . Il en

résulte que le reste minimum de hq par rapport à p est de même signe que l'expression

Ai \p q] \p "^ 2^ ql

(^) Ce théorème a été énoncé par Euler (Opusc. anal. Petersb. 1788) et a été démontré pour la première fois complètement par Gauss qui en a donné sept démonstrations.

Le démonstration de Legendre (T. d. N., 3' éd., t. I, p, 280) n'est pa» valable dans tous les cas. Depuis de nombreuses démonstrations ont été données dont nous rencontrerons quelques unes dans la suite.

{^) L. Krohecker. Monalsber. d. Berlin Akad. 1872.