LOI DE RÉCIPROCITÉ
Alors, d'après le lemme de Gauss le signe de (M est le même que celui de
«) ri ri (F^)(^-4-:)-
De même le signe de (- ) est le même que celui de l'expression
déduite de (4) en échangeant p et q. Si de plus on fait un changement de notation en échangeant les lettres h et k, on voit que le
- I est le même que celui de
<^) ri ri dî-K-^i-t)-
On peut modifier cette seconde expression de la façon suivante. On peut intervertir l'ordre des signes TT, et l'on peut séparer le
produit des facteurs - — - de celui des facteurs ^ -+■ ^ — p de façon à écrire
Dans le second de ces doubles produits on peut poser
Alors h' varie de i à ^ ~" ' et k' de i à ^-^^ . Si alors on
change de notations en remplaçant h' par h et k' paF k
le deuxième facteur de l'expression (6) s'écrit
ri ri (^^k-l)
et l'expression (6) elle-même, s'écrit
(t) ri ri (:-^)(^r,-,-)-
Si maintenant nous comparons les expressions (6) et (7) qui donnent, la première le signe de ( ). la seconde celui de (2 1, nous voyons qu'elles sont identiques au signe près des facteurs. Comme ces facteurs sont au nombre de '—- — . ^ ^ on voit que le
produit r-j (^ j est du signe de ( — i) " ^ . Comme d'ailleurs (^j et (^j sont égaux a -H ou — i, il en résulte que
La loi de réciprocité est donc démontrée. Les théorèmes relatifs aux cas a = — i eta = 2 s'appellent les théorèmes complémentaires de la loi de réciprocité.
195. — L'ensemble de ces trois propositions permet de résoudre complètement la question posé : Etant donné un entier a trouver
les modules premiers impairs p tels que ( - ) = i . Nous allons le
montrer sur des exemples. Le cas dea = i, a = — i, a==. 2 ont déjà été examinés.
Soit
On a
LOI DE RECIPROCITE
Or — I est reste quadratique de tous les nombres premiers ^ 1 (mod 4) et de ceux-là seulement ; 2 est reste quadratique de tous les nombres premiers ^ ± 1 (mod 8) et de ceux-là seulement. La
valeur de ( j dépend donc du reste de la division de p par 8, et
l'on a le tableau suivant
P = (mod. 8)
— 2 est donc reste quadratique des nombres premiers de la forme 8/1 -h 1 et 8A -h 3, et non-reste des nombres premiers de la forme 8/1 — I et 8/1 — 3.
Soit a = 3. On a
La valeur ( — 1 ) ^ dépend du reste de la division de p par 4 et la valeur de ( 5 ) dépend du reste de la division de p par 3.
l%\ = -4- i si/>^ I (mod 3) et (^\ = — i si/)^— i (mod 3)-
Donc la valeur de ( -) dépend du reste de la division de p par 12. On a le tableau suivant :
P = (mod la)
3 est reste quadratique des nombres premiers de la forme la/i ± i et non reste des nombres premiers de la forme laA di: 5.
Le nombre premier p = 3 est excepté de l'énumération précédente. Pour p = 3, on a :
Soit a = — 36o. On a :
Or
et
On voit que 1 ) = ( ] dépend du reste de la division de
p par ^o.
P ^ (mod 4o)
GÉiNÉRALlSATIO^ DU CARACTÈRE QUADRATIQUE 36.1
Sont exceptés de l'énumération précédente les nombres premiers facteurs de 36o, c'est-à-dire 2, 3, 5. Le caractère quadratique de
— 3 60 par rapport à l'un de ces nombres est nul.
Pour tout facteur premier impair sauf pour p = 3, qui divise
— 360 et non — 10 on a
Appelons noyau d'un entier le quotient de cet entier par le plus grand carré par lequel il est divisible on a le théorème : Si Con considère un entier a et son noyau a', on a
pour tout nombre premier p sauf pour ceux qui divisent a' sans diviser a.
196. — On vient de voir que la valeur de ( - J dépend du reste
de la division de p par un certain entier A. Nous allons déterminer cet entier. Mais auparavant, ce qui simplifiera les calculs, nous
parlerons d'une généralisation du caractère quadratique (- ), nous
allons définir le caractère quadratique ( -], n étant un entier
impair positijj quelconque (*).
Définition. — n étant un entier impair positif , et p, p„p'\... ses facteurs premiers différents ou non, de façon que
on a par définition :
On pose de plus
Voici quelques propriétés immédiates de ce symbole. C) Jacobi, J. r. a. M., t. 3o (i846), p. 17a. = Werke 6 Berlin 1891, p. 262.
