Théorème. — Pour que la congruence x^ ^a [mod n

soit possible il faut que ( - ) = i ou o, mais celle condilion n^esl pas

siifjîsanle.

En effet pour que la congruence en question soit possible il faut

*Ï"®(d)' ("')' ("'')' '*• ^^^^^^ *°^^ égaux à o ou à I, ce qui entraine ( - j = o ou i ; mais la réciproque n'est pas vraie. Théorème. — On a

C'est évident.

Théorème. — On a

Soit, comme plus haut, n = pp'p" ...

On a

Il suffit donc de montrer que

Or chacun des deux membres est pair ou impair suivant que le nombre des facteurs p, p', ... qui sont congrus à — i (mod 4) est pair ou impair.^

Théorème. — On a

Il suffit de montrer que

En effet, chacun des deux membres est pair ou impair suivant que le nombre des facteurs p, p', ... qui sont congrus à ±3 (mod 8) est pair ou impair.

Loi de réciprocité, m et n étant deux entiers impairs positifs on a

\n)\nij ^ '

Soit

m =pp'p" ... et n = qq'q"

On a

le produit étant étendu à toutes les combinaisons possibles d'un facteur p avec un facteur q.