GÉNÉRALISATION DU CARACTÈRE QUADRATIQUE
Donc le premier membre de l'égalité à démontrer est égal à
Or on a vu que
P^^ + P'-' 4- ... = PP'--' (tnod 2) a a a ^ ^
et
9J=J. H 9lzil + ... = 22li ZZJ (mod a). 2 2 a '
L'égalité est donc démontrée.
199. Cas de n <.o. — Comme dernière généralisation on peut encore définir (-] quand n est un entier négatif. En posant n = — n', on a par définition :
Mais les propriétés précédentes ne subsistent pas toutes. On a pour n < G
Mais l'on a
La loi de réciprocité
subsiste pourvu que l'un au moins des entiers m, n soit positif. Mais s'ils sont tous les deux négatifs on a
Remarquons d'ailleurs qu'on peut écrire toutes ces formules sous une forme telle qu'elles soient vraies quel que soient les signes .
de m et n. Désignons par |Sgn {m) (') la quantité -i- ou — i suivant que m est positif ou négatif; on aura dans tous les cas :
fi — Sgn(n)
m — 1 n — I 1 — Sgn (m) i — Sgn (n)
200. — Etant donné un entier a, trouver les entiers impairs positifs n tels que ( - ) = i •
La solution est identique à celle relative au cas où n est premier et les résultats sont identiques. Ainsi
/ J est égale à i lorsque n^ 1,7,9,11, 1 3, 19, — i7,'^3(mod4o)
( jestégaleà — i lorsquen^ 3, 17, — 19. — i3, • — 11,-9,
— 7, — 1 (mod 4o).
Déterminons maintenant l'entier A dont on a parlé au commencement du n° 196.
Comme on peut, sans changer ( - 1 diviser a par un carré, supposons a réduit à son noyau.
Nous distinguerons plusieurs cas.
!*«■ Cas. a ^ I (mod 4). On a
{n est toujours supposé positif).
La valeur de l - ) ne dépend que du reste de la division de n
par a. De plus n doit être impair et premier à a ou, ce qui revient au même, n doit être premier à 2a. .
L'entier A sera donc égal à 2a.
Considérons tous les entiers (*)
rii, 02, ... n^^^^
(*) Qu'on prononce : signe de m.
(') Remarquer que <p(aa) = «'(a).
