GÉNÉRALISATION DD CARACTÈRE QUADRATIQUE
premiers à 2a et compris entre zéro et 2a et déterminons leurs caractères quadratiques. Il y en a ^^ pour lesquels ce caractère
€st -+- I, et 2^ pour lesquels il est — i (n° 197). Chacun d'eux
rii est le premier terme d'une progression arithmétique de raison 2a dont tous les termes rii 4- 2ha sont tels que
\ni -h ahaj Xtiil Si l'on revient maintenant au problème de déterminer tous les nombres premiers p tels que ( - j = i on voit qu'il suffira de prendre
dans les - 9(0) progressions dont les termes jouissent de cette propriété les termes qui sont premiers.
1" Exemple, a = 5. — Les entiers positifs plus petits que 10 et premiers avec 10 sont 1, 3, 7, 9. On trouve que les entiers tels que
(-] = I sont les termes positifs des progressions i -4- loA et
94- \oh\ les entiers tels que ( - j = — 1 sont les termes positifs des
progressions 3 + loAet 7-I- \oh.
2* Exemple, a = — 3. — On trouve que
et
( 1= — 1 si n = 6h — 1.
2® Cas. a^ — I (mod 4). On a
Donc la valeur de ( - ) dépend des restes des divisions de n par a et par 4, donc du reste de la division de n par 4a. L'entier A sera donc égal à 4a. On formera - <p(4<i) c'est-à-dir» (^(a) progressions
arithmétiques dont les termes n, -+- l[ha seront telles que
et ^{a) progressions pour lesquelles la même quantité sera égale à — I . Restera aussi à voir ceux des termes de ces progressions qui sont premiers.
Exemple, a = 3. — Les entiers impairs positifs n pour lesquels [-J = 2 sont ceux des progressions i -+- la/t et 1 1 H- laft, ceux
pour lesquels ()= — ï sont ceux des progressions 5 H- la/t, 7 -h la/i.
3» Cas. — Soit a = ia' avec a' ^\ (mod 4). On a
On trouve A = 4a etc.
Exemple. a= lo. — On a ( — ) = ^ lorsque n est un entier impair positif de l'une des progressions ;
1, 3, 9, i3, 27, 3i, 37, 39 -+- Aofc et ( — ] = — 1 lorsque n appartient aux progressions 7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33 -h 40/1. 4" Cas. — a= 2a' avec a' ^ — i (mod 4). Alors
On trouve encore A = 4a.
Exemple, a = — 10. — On a f j = i pour
n= 1, 7, 9, 11, i3, 19, a3, 37 + 4oA
n = 3, 17, 21, 27, 29, 3i, 33, Sg -h l\oh.^
