APPLICATION DE LA LOI DE RÉCIPROCITÉ, ETC

Remarque, — Il est bien entendu que les résultats précédents ont été démontrés pour n >» o. On a facilement les résultats relatifs aux entiers n négatifs par la relation ( -) = (zr~) '

Exemple. — Les entiers négatifs — n tels que ( ) ^^ ^ ^^^^ ^^*

termes négatifs des deux progressions — i — lo/i et — 9 — loh.

Il se trouve ici que ces progressions sont les prolongements des progressions à termes positifs i -h lo/i et 9 -h loh.

Les entiers négatifs — n tels que ( ) ^^ * ^^^ ^®* termes négatifs de la progression — 1 — 6h qui n'est pas le prolongement de la progression à termes positifs 1 -h 6h.

H est facile de voir pour quelle» valeurs de a les progressions se prolongent et pour quelles valeurs elles ne se prolongent pas.

201. — Application de la loi de réciprocité et des théorèmes complémentaires à la simplilication du calcul

La méthode à suivre ressortira clairement des exemples suivants, i" Exemple. — Soit à calculer ( o )• On a

Or 9973 ^ — 3 (mod 8). Donc f 0 ) = — 1 .

D'autre part 9978 ^ 1 (mod 4)- Donc

/i83\/997^\ /9i\/ 7 \i ^^ \(') \997^/ "" \ i83 ; — \i85)—\Wi)\i8^)

On a ensuite

Donc flnalement ( ^j ) = i.

(') Cette décomposition en facteurs de 91 n'est pas nécessaire, mais elle simplifie le calcul.

Cabbx, — Théorie des nombres, t. II. 3&

2* Exemple. — Soit à calculer (fc^t^ )• On a

/ia34\/ 2 y 617 \ \56789; - \56789A55^9/

Or 56789 = — 3 (mod 8). Donc (rgV) = — i. D'autre part 617^1 (mod ^). Donc

Or a5 est un carré parfait. Donc [ ^ — ) = 1. Donc

202. Enoncé du théorème de Lejeune Dirichlet sur la progression arithmétique. Démonstration pour les progressions de raisons 4, 6, 8. — Nous avons dans ce qui précède considéré les nombres premiers appartenant à une progression arithmétique dont le premier terme et la raison sont des entiers premiers entre eux. Nous sommes donc amenés à nous demander comment ces nombres premiers se placent dans la progression, et en particulier s'il y en a une infinité. Ces questions seront traitées plus tard. La seconde a été résolue par Lejeune Dirichlet.

Dans une progression arithmétique dont le premier terme et la raison sont des entiers premiers entre eux il y a une infinité de nombres premiers. Nous nous bornerons ici à des cas particuliers de ce théorème.

On peut se borner au cas où la raison est un nombre pair. Car si la raison est un nombre impair 2A: -f- i , les seuls termes de la progression {2k -\- i)n -\- a qui puissent être premiers sont (sauf 2) ceux qui sont impairs, c'est-à-dire ceux pour lesquels n = a -h 2n' -\- I. Ils appartiennent donc à la progression 2(2^ -h i)n' -+- (2/c -+■ i)(a -h i) -f- a de raison paire 2{2k -\- i).

On peut remarquer que si le théorème est démontré pour une certaine valeur de la raison il est par cela même démontré pour toute valeur de la raison diviseur de la précédente.

Si la raison est 6 il y a deux progressions pouvant contenir des