CAS PARTICULIERS DU THÉORÈME DE LEJEUNE DIRICHLET
nombres premiers, celle des nombres Qh — i et celle des nombres 6h-h I.
Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6h — i.
D'abord il y a de tels nombres par exemple 5. Ensuite soit p un tel nombre, nous allons en trouver un plus grand. Pour cela considérons N = 2.3 ... p, puis formons
Tout facteur premier de P est plus grand que p. Mais il y a au moins un de ces facteurs premiers qui est de la forme 6/i — i . Car si tous les facteurs premiers de P étaient de la forme Qli -+■ i, P le serait aussi. Or P est de la forme &h — i. Donc, etc.
Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6A + i.
D'abord il y a de tels nombres par exemple 7. Ensuite soit p un tel nombre ; considérons l'entier P = N^ -h N H- i ou N = 2,3 ...p. Tout facteur premier de P est plus grand que p, d'autre part un tel facteur premier q est tel que la congruence x^ -^ X -\- 1^0 (mod q)
soit possible. On a donc (— — ) = i ou o. La seconde hypothèse
est inadmissible. Donc q est de la forme 6^ -f- i.
203. — Si la raison est 8 il y a quatre progressions 8A -h i» 8A I, %h —3, 8/1 + 3.
Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 8A -4- i . Nous démontrerons le théorème plus général : Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 2"h ■+- i. Lemme. — Soit a un entier, tout Jacteur premier impair de
a(- ' H- I est congru à i [mod 2"). Soit gr un tel facteur. On a
(a'-"~' -h i)(a*"~' — i) = a2" — 1=0 (mod q).
Donc l'exposant de a par rapport à q est 2" ou un sous-multiple de 2". Mais ce ne peut être un sous-multiple de 2" car si cela
était on aurait a^ — 1^0 (mod q) ce qui est contradictoire
avec a^ -h i ^ o (mod q). Donc cet exposant est égal à 2". Mais cet exposant est un diviseur de q — i . Donc
q^ ï (mod a").
Ce lemme étant démontré, on voit d'abord qu'il y a des nombres premiers congrus à i (mod 2") en donnant à a une valeur particulière, par exemple 2 et prenant un facteur premier de 2^ — i.
Ensuite on voit qu'il y en a une infinité, car soit p un tel nombre. On forme
N=a.3...p puis
etc.
Remarque. — Lorsque a = 2 et n >• 2, l'énoncé précédent peut se perfectionner (^)
Tout fadeur premier impair p de ^^ -+■ i est congru à i {mod 2"+^) {n > 2).
En effet on sait que p est congru à i (mod 2") par conséquent congru à i (mod 8).
Donc 2 est un reste quadratique de p. Soit
a ^ a^ (mod p).
Alors
2^" ^ -h I ^ a^" H- I (mod p).
Donc si 2^ -h 1 est divisible par p, a*" -h i l'est aussi, par suite p est congru à i (mod 2"+^).
Il y a une infinité de nombres premiers de Informe 8h — i. On forme
(le nombre 2 ne figurant pas comme facteur dans N), puis
Un facteur premier 9 de P est tel que (~\ = i . Donc q est de
l'une des formes 8h zh i. Mais si tous les facteurs premiers de P étaient de la forme 8/1-4- i , P le serait aussi, ce qui n'est pas. Donc etc.
Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 8h — 3.
(') Lucas, Atli R. Ace, Se,, tome i3 (1877-78), p. 271. Hadahard, Interm. des math., 3 (1896), p. at^.
CAS PARTICULIERS DU THÉORÈME DE LEJEU.>'E DIRICHLET SyS
On forme
N = 2.3...p puis
On voit que tous ses facteurs premiers sont de l'une des deux formes 8h -h i, 8h — 3. Mais P est de la forme 8h — 3, etc. Il y a une infinité de nombres premiers de la J orme 8/i h- 3. On forme
puis P = N^ 4- 2, et on raisonne comme dans le cas précédent.
204. — Si la raison est 2p (p = nombre premier impair) il y a (p{p) progressions pouvant contenir des nombres premiers: Nous examinerons seulement les progressions 2hp H- i.
Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 2hp -f- i.
Lemme. — Soit a un entier non congru à i (mod p), si l'on
considère l'entier
. at' — i
tout facteur premier de cet entier est congru à i {mod p) . Soit q un tel facteur. On a
(a — i)A z= af — 1 ^ o (mod q).
Donc p est un multiple de l'exposant de a par rapport à q (n°3). Donc cet exposant i ou /). Mais cet exposant n'est pas I puisque a n'est pas congru à i (mod p). Donc cet exposant est p. Or cet exposant est un diviseur de q — i (n° 3). Donc q est congru à i (mod p).
Ce lemme étant démontré, on voit d'abord qu'il y a des nombres premiers congrus à i (mod p) en donnant à a une valeur particulière par exemple a =: 2 et prenant un diviseur de 2^ — i.
Ensuite on voit qu'il y en a une infinité. Soit r un nombre premier congru à i (mod p). On forme
N = 2.3... r puis
Tous les facteurs de P sont congrus à i (mod p). Or aucun de ces facteurs ne peut être inférieur ou égal à r, car dans ce cas il diviserait N et par conséquent ne pourrait diviser N^' — i .
I. — Loi de réciprocité, 3* démonstration de Gauss ('). Nous gardons les mêmes notations qu'au n" 192. 1° a étant impair on a :
(Ici et dans ce qui va suivre les sommes sont étendues aux valeurs
entières de h, de h = i a h = " , à moins d'indication contraire.
(E(a;) désigne le plus grand entier contenu dans x). En effet on a :
ha = E ( - j p + a/, si a/, > o
ha"^
ha
= [E {^~\ + ij p — et,, si a^ < o
d'où :
A = E^-^j + aA (mod. 2), siûf/, >o
A^El— j4-l4-a/, (mod. 2), si a^ < o
Faisons h = o, i, ... et ajoutons ; '
2ft-2^(^) + v + 2-. (mod. 2)
Or ^A = /^<Xk- Donc etc.
2° Il en résulte :
■ha^
(1) Comm Gôtt = Werke t, 2, p. i,
NOTES ET EXERCICES 3'jb
Donc pour démontrer la loi de réciprocité il suffit de démontrer que :
h=ii h=i
3* Nous allons démontrer le théorème plus général suivant :
Soit w un nombre positif ralionnel on irrationnel mais non entier. Soit m
un entier tel que aucun des nombres iw, 201, .., moi ne soit entier. Posons
E(m(o) = 71. Dans ces conditions on a :
h = m hz=n
h=i ft=i
Si dans cette ésalité on fait w = " et m = " , on trouve
- pourvu que p <i q, ce que l'on peut toujours supposer.
La congruence (10) résultera donc de l'égalité (11).
La démonstation la plus simple de l'égalité (11) est une démonstration géométrique ('). Considérons le réseau des points à coordonnées entières. Marquons la droite y = eux et considérons aussi le rectangle formé par les axes, la droite x = m, et la droite j = n. Comptons les points du réseau appartenant à ce reclangle à la manière de I. I^Q.
On sait que le nombre de ces points ainsi comptés est égal à la surface du rectangle c'est-à-dire à mn. Mais d'autre part si on compte séparément le nombre de points au-dessous de la droite y = oix et le
h=zm
nombre de points au-dessus, on trouve ^ E(/iw) pour le premier
nombre, et /^ E [-1) pour le second. L'égalité (11) est donc dé-
montrée.
II. — Loi de réciprocité ; démonstration de Zolotarev. — Soit un module premier impair p et un entier a non divisible par p. On forme les produits :
la, 2a, ... (p — i)a
(1) EisENSTEiw, J. r. u. A/., t. 28 (1844) p. a46.!
et on calcule leurs restes ordinaires par rapport à p. Soit :
cil, Ct^, ... «p
la suite de ces restes. Démontrer que (-) = ( — i)' en désignant par i
le nombre d'inversions (I. 160) présenté par cette suite.
On en déduit une démonstration de la loi de réciprocité et des théorèmes complémentaires (G. Zolotarev. N. A. de Math, 2' série t. II (1872) p. 354).
III. — Loi de réciprocité ; démonstration d'Eisenstein. — On a :
. hq . a^
sin — * 271 sm — 2TÏ
sin - ar sm - 2-,
(mêmes notations que plus haut).
Si dans cette égalité on fait h = i, 2, ... ~ et qu'on multiplie.
l'ensemble des quantités sin ~ ar. prend les mêmes valeurs que
l'ensemble des quantités sin - 2?:, mais avec un changement de signe pour tout ait négatif. On a donc d'après le lemme de Gauss :
2 sm a/, 2Tt 2 sm hq 211
\n) "" il T^h "" ii Tli
' , sin - 2TC , sin - 2TC
ft=i p h=i p
Or on a :
X — sin'* —
?^^l^ = (-i)~2^/-' TT (sin^ sm X ^ ' ±1 \
(Cette formule se démontre en remarquant que —. — i- , q étant
impair, est un polynôme entier en sin x de degré q — 1 dont les racines
sont i sin — ti Ik = 1, 2, ... 2 j et dont le premier coefficient
g—' est(— i) ^ 2^-\
îiOTES ET EXERCICES 877
Alors
Si l'on permute p et q rien ne change dans le second membre que le
signe des facteurs sin^ -2- — sin^ - 2-. Or ces facteurs sont au 6 p q
nombre de ^ • " . Donc, etc.
IV. — Extension du lemme de Gauss au cas où le nombre premier p est remplacé par un entier positif impair n premier à a ('). — Si l'on calcule les
restes minimums des divisions par n des produits la, aa, ... a, et
que l'on appelle v le nombre de ces restes qui sont négatifs ou a :
En supposant ce résultat les démonstrations données |précédemment de la loi de réciprocité s'appliquent à deux entiers impairs premiers entre eux, non forcément premiers absolus.
V. — Soient a, h deux entiers impairs positifs, premiers entre eux. On divise a par b en s'arrangeant de manière à ce que le reste soit impair (I. 87).
Soit zr ce reste, r étant positif, s étant -+- ou — 1 . On divise b par r soit de même sV le reste impair, etc. jusqu'à ce qu'on obtienne un
reste égal à d= 1. Démontrer que ( y | = ( — 1)*, k étant le nombre
des couples :
6, er; r. sV ; r', eV;
dans lequel les deux entiers sont congrus à — 1 (mod l\). (Eisenstkin, J. r. a. M. t. 27 (i844) p- 3i7).
V. — Soient a, b, deux entiers impairs, positifs, premiers entre eux. On divise a par b en s'arrangeant de manière à ce que le reste soit impair.
Soit r ce reste positif ou négatif. On divise b par r, soit r' le reste positif ou négatif; etc jusqu'à ce qu'on obtienne un reste égal à -\^ ou — 1 . On a ainsi une suite d'entiers impairs :
a, b, r, r', (^) ScHERiSG, Berl. Monatsber, 1876, p. 33o.
On considère aussi la suite des restes minimuns par 4 des termes de la suite précédente, soit :
tous les E sont égaux à + ou — i .
On appelle a le nombre de couples de termes négatifs consécutifs qu'il y a dans la première suite, et ^ le même nombre pour la seconde suite. Démontrer que :
(Sylvbster, C. R. Ac. Se. Par. t. 90 (1880) p. io53). VI. — Gardant les mêmes notations que dans la question précédente on a :
en posant
E étant égal à i lorsque m et n sont tous les deux négatifs et à zéro dans les autres cas. On peut écrire :
Vil. — Soit :
p étant premier. Démontrer que ah est reste quadratique de p ou non suivant que/) ^ i ou 5 (mod 8).
VIII. — Soit p un nombre premier congru à \ (mod 4). Démontrer
que tout facteur premier d'un entier de la forme ^—. n[n-\- \) est
reste quadratique de p. (Euler, opusc. analyt., t. 1 p. 276).
