IX. — Soit p un nombre premier congru à — i (mod 4). Démon

trer que tout facteur premier d'un entier de la forme*— y 1- n(/i+ 1)

est reste quadratique de/). (Euleb, opusc. analyt., t. 1 p. 281).

X. — Soit un nombre premier p ; on partage l'intervalle de o à p en quatre intervalles égaux. On appelle Ai le nombre de restes quadratiques contenus dans le i""" intervalle. On appelle A/ le nombre de ces

NOTES ET EXERCICES SyQ

restes qui sont pairs et A/' le nombre de ceux qui sont impairs. On appelle B^, Bî, B/ les mêmes nombres relatifs aux non-restes. Démontrer que si /) ^ I (mod 4) on a :

€t les égalités qu'on obtient en mettant B à la place de A dans les précédentes.

Si p ^ — 1 (mod 4) on a :

A/ = ^Li

«t les égalités qu on obtient en mettant B à la place de A et A à la place de B dans les précédentes.

Si /) ^: 3 (mod 8), on a :

Al = B„

Si p ^ — I (mod 8), on a :

As = A3 = B2 B,= B, =A3 = A5 + a;.

Si /) ^ db 1 (mod 8), on a :

XI. Le théorème de Dirichlet a été démontré par les progressions de raison 4 puisqu'il a été démontré pour les progressions de raison 8. On pourra le démontrer directement pour la progression lih — i en considérant l'expression 2(2. 3. 5 ... p) — 1 et pour la progression lih ■+- 1 en considérant (2. 3. ... p)^ + i.

XII. — Démonstration du théorème de Dirichlet pour la progression bh—i.

On s'appuie sur ce que tout diviseur premier d'un entier de la forme x^ — x — 1 est de l'une des formes bh ± i, et que ces diviseurs ne sont pas tous de la forme bh -\- i. Soit p un nombre premier de la forme 5h — '■ 1 , on considère :

puis :

Table des progressions des entiers impairs positifs n tels que l-\ = 1 ; jusqu'à a -= 50

8A=fc Sh +

6A + ïoh ± 2oh + a4A±

î4A4aSfe ± 14^ + 4oA ± 4oA +

44fe=b

aaA + 36A ± 5aft + 56A± 56A + 60A zt ioh + ^h rt 68A +

76^ ± 38A -+- 42A zt 84A + 88A ± 88/t +

92^ rt

iioh dr

, — 3, + 7, + 9. -+- II, 4- i3, — 17, + 19

, — 3, — 5, + 7, + 9, + II, + i5. + 17, + 19, — 21, — a3, + 2r>

, ± 9. =t II. ± A ± 43. =t 5i

, -+- 3, + 5, 4- 9. — II, + i3, + i5, — 17, + 19, + a3. + aS, + 27 . it 7, ± II. rt 17 , — 7, — II, — i3 . zt 97 =t i3, rt i5

, + 3, — 5, + 7, + 9, + II, + i3, — i5, — 19, + ai, + a3, + a5, + 37, — 39. + 3i, + 33

, rt 3, =t 5, rt 9. rt i5, rt 17. rt aS, rt 27 rt 3i , — 3, + 5. + 7, + 9. + II. - i3, — i5, + 17

, rt 5, rt 17

, + 5. + II, — i3, + 17, + 19. + a3, + a5, — 29, -»-3i, + 37, + 4'

, rt 3, rt 7. rt. 9. ± i3, ± ai, ± 25, =t 27, rt 29, rt Sg

- 37, + 39. + 3i. + 35, - 37. — 39, - 4i. - 45 , rt 7, rt 9. ± i'> ± i3, rt i5, rt 19. ± A rt 39, =t 4«> ± 43 , + 3, — 5, — 7, + 9, — II, + i3, — i5, — 17, — 19, — 31 . rt 5, rt II, rt 17. ± 19. ± ai, rt 33, rt 35, rt 37, rt 45, rt 49 , -f- 3, + 5, + 7, + 9, — Ji, + i5, + 17, — 19, + 21, — 23, + 23,

+ 27, — 29. + 3i, — 33, -4- 35, + 37, — 41, -4- 43, + 45, -+- 47. + 49. + 5i , rt 5, rt 7, rt 9, rt i3, rt 23, rt 35 , + 3, + 5. — 7, + 9, + II, + i3. + i5. — 17, + 19- — 21. — 23

I, rt 7, rt i3, rt 17. rt 19. rt 29 rt 3? rt 49