AUX DETERMINANTS AUXQUELS NE CORRESPOND QU'UNE CLASSE PRIMITIVE

205. — Nous pouvons maintenant étendre à d'autres classes qu'à celle de la forme (i, o, i) les résultats du chapitre XV. Nous nous bornerons à considérer des formes, des classes et des représentations primitives.

Nous ne nous occuperons que des représentations et non des décompositions qui peuvent en résulter (n° 188).

Nous nous occupons d'abord des classes définies.

Le nombre des représentations d'un eiitier m est égal au nombre de substitutions automorphes d'une forme de la classe, multiplié par la moitié du nombre de solutions de la congruence.

x^ -h px — - ^ o (mod m).

Or le nombre des substitutions automorphes d'une forme de la classe est en général 2 , il est égal a 4 pour la classe de la forme (i, 0, i) déjà examinée et à 6 pour la classe de la forme (i, i, 1). C'est pourquoi nous allons examiner cette dernière particulièrement.

206. — Pour qu'un entier m soit représentable primitivement dans la classe de la forme (i, i, i) il faut et il suffit que la congruence

rc* -V- x -f- I ^ o (mod m) soit possible.

Car on a vu que c'est la condition nécessaire et suffisante pour que m soit représentable dans une classe de discriminant 3. Or il n'y a qu'une classe de ce déterminant, à savoir celle considérée

D'ailleurs le nombre de transformations autoniorphes de ( i , i , i ) étant égal à 6, le nombre de représentations de m est égal à six fois le nombre de solutions de la congruence (i). Examinons les différentes valeurs de m.

ler Cas. m = I. — La congruence (i) a une solution x '= i. Donc il y a 6 représentations. En effet

2® Cas. m est un nombre premier impair différent de 3.

La congruence (i) a deux solutions si ( | = i c'est-à-dire

m ^ I (mod 6), elle n'en a pas si m ^ — i (mod 6).

Donc : tout nombre premier congru à i {mod 6) est représentable de douze façons dans la classe de la forme x^ -i- xy -\- y^, et tout nombre premier congru à — i {mod 6) n'est pas représen-

table dans cette classe.

Exemple

pour

Si l'on ne considère pas comme distinctes les quatre représentations

X = a X = — a iC = Y X = — Y

il n'y a que trois représentations par la forme (i, i, i)

La seconde partie du théorème peut se démontrer indépen- <iamment de la théorie précédente ; il est évident que quelques