EXTENSION DES UÉSULTATS DU CHAPITRE XV
valeurs entières qu'on donne a x ely, l'expression x^ -h xy -+- y* ne peut être congrue à — i (mod 6).
3'= Cas. m est un entier impair dijfférent de i et non divisible par 3.
Si tous les facteurs premiers de m sont congrus à i (mod 6), la congruence (i) a 2'' solutions, k étant le nombre de fadeurs premiers de m, donc il y a 6 . 2* représentations ; si les facteurs premiers de m ne sont pas tous congrus à i (mod 6) il n'y pas de représentation de m.
4® Cas. m est un entier impair divisible par 3. — Soit m = 3*m'.
La solution de (i) se ramène à celle des deux congruences
x^ + a; H- I = 0 (mod 3*) x^ -+- X -h- i ^ o (mod m').
Si a >» I la première de ces congruences est impossible donc on n'a pas de représentations primitives. Si a = 1 la première de ces congruences a une solution, donc m a autant de représentations primitives que m'. D'ailleurs les représentations de 3m' par la forme (i, i, i) se déduisent de celles de m' de la façon suivante.
De
m' = fl^ -H a6 -h o^ on déduit
3m' = (2a H- 6)2 -f- (aa -h b) (— a — ib) -h {— a — ihY.
Réciproquement de
on déduit, d'abord
a ^ ^ (mod 3) puis
5* Cas. m est pair. — La congruence (1) est impossible, m n'a donc pas de représentations primitives. C'est d'ailleurs très facile à voir directement.
Nous laissons au lecteur le soin de s'occuper des représentations non primitives.
Corollaire. — Si un entier est représenté primitivement dans
Cahk!i. — Théorie des nombres, t, II. aS
THRORIE DES NOMBItES
la classe de la forme x* -f- xy -+- }'* il en est de même de tout diviseur de ce nombre.
207. — Généralisation pour les classes définies ayant un déterminant auquel ne correspond quune classe. — Nous allons maintenant considérer les classes définies autres que celle de la forme (i, G, )) et celle delà forme (i, i, i). Le nombre des substitutions automorphes d'une forme de la classe est alors égal h 2.
Mais nous supposerons de plus que le déterminant de la classe ne contient pas d'autre classe qu'elle même.
Gela arrive par exemple pour les discriminants 7, 8, 11, 19^ 43, 67, ...
La classe est représentée par la forme principale ( 1 , ^5, — ^ '- |.
Alors la condition nécessaire et suHisante pour que n soit représentable primitivement dans la classe est que la congruence
a:^ -h px H j—^ ^ o (mod m)
soit possible. Cette condition se traduit par le fait que les facteurs premiers de m doivent appartenir à certaines progressions arithmétiques. D'ailleurs le nombre de représentations de la forme est égal à 2 fois le nombre de solutions de la congruence.
Pour discuter la congruence il faudra distinguer plusieurs cas.
1' Cas. m =^ i. — On trouve deux représentations
I = i2 4- p . 1(0) + Ç^ o^ = (- ly + p . (— 1)0 -h ^^ o^.
2" Cas. m est un nombre premier impair non facteur de D. La congruence a deux solutions si ( j = i, c'est-à-dire
si m appartient à certaines progressions arithmétiques, elle n'en a pas dans le cas contraire. Dans le premiers cas m a quatre représentations, dans le second cas il n'en a pas.
Pour D = 7, par exemple, on a : tout nombre premier congru à I, 2, 4 {mod']) est représentable de quatre façons dans la classe de la forme (i, i, 2}, tout nombre premier impair congru à 3, 5, 6 [mod 7) n'est pas représentable dans cette classe.
