EXTEMSION DES RÉSULTATS DU CHAPITRE XV
Exemple :
Pour D = 8 on a : tout nombre premier congru à i, 3 {mod 8) est représentable de quatre façons dans la classe de lajorme (1,0,2), tout nombre premier congru à — i, — 3 {mod 8) n'est pas représentable dans cette classe.
Exemple
Remarquons ici que les quatre représentations de m ne donnent qu'une seule décomposition de m en un carré et le double d'un carré.
Nous laissons au lecteur le soin d'achever la discussion et de démontrer que si un nombre impair est représentable primitivement dans une des classes précédentes il en est de même de chacun de ses diviseurs.
208. Même question pour les classes indéfinies. — Nous allons maintenant considérer des classes indéfinies, mais en supposant toujours que le déterminant est tel qu'il n'y a qu'tme classe correspondante. Cela arrive, par exemple, pour les déterminants 5, 8, 12, i3, 17, 29, ...
Les résultats sontles mêmes que pour les classes indéfinies, seulement les entiers qui sont représentables le sont d'une infinité de façons.
Pour A -= 5 par exemple, on trouvera les résultats suivants : tout entier impair non divisible par 5 est représentable 'primitivement d'une infinité de façons dans la classe de la forme (i, I, — 1) si tous ses facteurs premiers sont congrus à ± i [mod 5) ; ^7 ne fest pas si ses facteurs premiers ne sont pas tous de celte forme.
Exemples :
II = 32 H-3.1 — i2==32 + 3.2— 22
= 4"^ H- 4(— 1) — (— i)'' = fi' -^ A. 5 — 52 = ... 209 = 132 H- i3.8 — 82 = 132 4- i3.5 52
Pour A = 8 on trouvera, le résultat suivant : Tout entier impair est représentable primitivement d'une infinité de façons dans la classe de {i, o, — 2) {c est-à-dire décomposable en la différence d'un carré et du double d'un carré), si tous ses facteurs premiers sont congrus à dz i {mod 8) ; il ne l'est pas si ses fadeurs premiers ne sont pas tous ds cette forme.
Exemple :
Remarque. — La classe de ( 1 , o, — 2) contient aussi (2,0, — i ). D'ailleurs
Ainsi
7= 2.4' — 52 = 3.8^ — Il2 = ...
209. Extension aux déterminants auxquelles ne correspond qu'une classe primitive.
Supposons maintenant qu'à un déterminant donné correspondent plusieurs classes, mais une sexûe primitive. Les résultats précédents sont encore vrais avec quelques modifications. Donnons des exemples.
D = 12. Il y a deux classes l'une primitive représentée par la forme (1,0, 3), l'autre de diviseur 2, représentée par la forme (2, 2, 2). Pour que m soit représenté primitivement dans l'une ou l'autre de ces classes il faut et il suffit que la congruence
a;2 ^ — 3 (mod m) ait des solutions.
Appelons a le nombre de solutions, il y a 2a représentations primitives de m dans les deux classes précédentes. Si m est impair il n'a pas de représentations dans la classe de (2, 2, 2), donc il a 2a représentations dans la classe de (i, o, 3).
Si m est pair il a autant de représentations primitives dans la
classe de (2, 2, 2) que - en a dans la classe de (1, i, i).
Ce nombre est égal à 66, 6 étant le nombre de solutions de la congruence
= 0 (mod^y
EXTENSION DFS RESULTATS DU CHAPITRE XV SSg
// y alors 2a — 66 représentations primitives de m dans la classe de (i, o, 3).
Etudions maintenant le nombre de représentations primitives dans la classe (i, o, 3) dans les différents cas particuliers.
i" Cas. m = I. — Alors a = i, b = o ilya deux représentatalions primitives de i dans la classe de (i, o, 3)
2* Cas. — m est un entier impair différent de i et non divisible par 3. Alors b = o. De plus si les facteurs premiers de m sont tous congrus à i (mod 9), on a = 2'', k étant le nombre de ces facteurs premiers, donc m a 2''+' représentations par la forme (i, o, 3). Si les facteurs premiers de m ne sont pas tous congrus à I (mod 6), m n'a pas de représentations par la forme (i, o, 3).
En particulier : tout nombre premier congru à i [mod 6) a l\ représentations par lajorme (i, o, 3) [c est-à-dire une décomposition en un carré et le triple d'un carré].
Exemple :
3® Cas. m est un entier impair divisible par 3. — Soit m = 3'/n' [m' non divisible par 3). Où voit d'abord que si a > 1 il n'y a pas de représentation primitive de m dans la classe de (i, o, 3). Si a = I ma autant de représentations primitives que m'.
D'ailleurs de
a ^ o (mod 3)
4* Cas. m est pair. — Soit m = 2^ m' [m impair)
on déduit
et réciproquement de
on déduit d'abord
puis
Sgo THÉORIE DES NOMBRES
Si a > 2 il n'y a aucune représentation primitive de m ni dans la classe de (i, o, 3) ni dans celle de (2, 2, 2).
Si a = 2 l'entier ^m! n'a pas de représentations primitives dans la classe de (i, i, i), et il en a deux fois plus que m' dans la classe de (i, o, 3).
Si a ^= I , l'entier am' n'a pas de représentation dans la classe de (i, o, 3) et il en a dans la classe de (2, 2, 2) autant que m' dans la classe de (i, i, i). D'ailleurs de
on déduit
et réciproquement.
2m' = aa^ -h 2(î + 2fi'
I. — Etudier la représentation des entiers dan» les classes définies de discriminants 11, 37, 28.
II. — Etudier les représentations des entiers dans les classes indéfinies de déterminants 5, 62.
III. — Le nombre total des représentations de m par la forme x^ -{- xy -h y^ est égal à six fois l'excès du nombre de ses diviseurs qui sont congrus à 1 (mod 4) sur le nombre de ses diviseurs qui sont congrus à — i (mod 4).
