GENRE DES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES
210. — iN'ous vouions maintenant étendre les résultats précédents aux déterminants auxquels correspondent plusieurs classes primitives. Nous allons d'abord traiter un exemple particulier, D = i5.
Il y a deux classes, qui sont toutes les deux primitives, ce sont les classes des formes (i, i, 4) et (2, i, 2).
La condition nécessaire et suffisante pour que m ait des représentations primitives dans l'une des deux classes est que la congruence
x* H- X -+- 4 ^ o (mod m)
soit possible. Pour cela il faut et il suffit que les facteurs premiers de m différents de 2, 3, 5 soient de l'une des formes 3oh -+- i, — 7, — II, — i3; que le facteur 3 et le facteur 5 n'entrent chacun dans m qu'à l'exposant o ou i . Reste à distinguer dans laquelle des deux classes a lieu la représentation primitive.
Or si on laisse d'abord de côté les entiers m divisibles par 3, on voit que la classe de (i, i , 4) ne peut représenter que des entiers congrus à i (mod 3), tandis que la classe de (2, i, 2) ne peut représenter que des entiers congrus à — i (mod 3).
On a, en eflet, les identités :
(') La notion de genre est duc à Gauss, Disquis. arithm., art. 229 et »uiv.
392 THÉORIE UKS NOMBRES
Considérons maintenant les entiers m = 3m' divisibles par 3. De
x^-+- xy -h ky^ = 3m' on déduit d'abord
x^y (mod 3) puis en posant
on voit que l, u sont des entiers premiers entre eux et que
a<* -h /u 4- au* = m'.
Donc 3m' a autant de représentations primitives dans la classe de (i, 1,4) que m' dans la classe de (2, i. 2).
On verrait d'une façon analogue que 3m' a autant de représentations primitives dans la classe de (2, i, 2) que m' dans celle de (i. 1,4).
Ainsi les entiers représentables dans la classe (i, i, 4) se distinguent de ceux représentables dans la classe (2, i, 2) parles restes qu'ils donnent relativement au module 3.
On pourrait d'ailleurs tout aussi bien faire cette distinction au moyen du module 5. Car les identités
x^ + rrj + 4/^-(xr.4-j)^ ) ^^^^ ix^ -^ xy -\- aj* ^ 2(0; — yY S
montrent que, en laissant de côté les entiers divisibles par 5, la classe de (i, i, 4) ne peut représenter que des entiers congrus à H- ou — I (mod 5) et la classe de (2, i, 2) que des entiers congrus à H- ou — 2 (mod 5).
Pour les entiers divisibles par 5, on démontrera que 5m' a autant de représentations primitives dans l'une des classes que m' dans l'autre.
211. — Si nous voulons généraliser les résultats précédents pour un déterminant quelconque nous sommes amenés au problème suivant :
Quels restes peuvent donner par rapport à un module p. les entiers représentés primitivement par une forme (a, 6, c) ?
coNGRUENCE ax^ -\- hxy 4- cy- =: m (mod ^l) 398
Pour cela il suffit de discuter le problème suivant : Problème. — Résoudre la congruence
ax^ -h hxy -h cj^ ^ m (mod fi)
(a, 6, c) e'/anf «ne forme primitive. Trouver les solutions où x et y sont premiers entre eux.
Nous distinguerons plusieurs cas.
I*' Cas. rj, z= p = nombre premier impair non facteur de A, et m n'est pas divisible par p.
On peut supposer a ^ o {mod p) (n° 183). La congruence
(1) ax^ -h hxy -+■ cy^ ^ m (mod /))
n'est possible que si
<a) i^-^-j j = iouo
et elle donne
aa
Il faut donc déterminer y de façon à satisfaire à la condition (2).
Or si l'on donne à y les ^- valeurs o, i, 2, ... on
trouve ^— - — valeurs pour Aj^ h- ^am dont deux quelconques
sont incongrues (mod p) (à cause de A ^ o (mod p)). Donc il y a au moins une de ces valeurs pour laquelle on n'a pas
/ùy^-j-liam\ ^.
et, par suite, au moins une valeur de y satisfaisant [à la condition (3),
Ainsi la congruence (i) est résoluble.
Je dis, de plus, qu'elle est satisfaite par des valeurs de jc, y» premières entre elles. En effet, soit Xq^ yo une solution. On n'a pas ^0 ^ yo ^ o (mod p) puisque m ^ o (mod p). Donc si Xo, y© ^^ sont pas premiers entre eux on peut déterminer des entiers x, y, respectivement congrus à Xo, yo (mod p) et qui soient premiers
394 THÉORIE DES NOMBItES
entre eux (I, 893. Voir aussi l'exercice de la fin du chapitre XX tome i) (^).
Exemple. — Soit la forme x' -h a-j -h ^j* de discriminant i5 et soit |JL = 7. La forme représente :
poar X ^ I y ^ o un entier ^ 1 (mod 7)
» I ni » 5 »
Conséquence. — Dans le cas qui nous occupe, les entiers représentés primitivement par la forme, ou par la classe, ne présentent aucun caractère particulier par rapport au module p.
2* Cas. a = p = nombre premier impair facteur de ^ et m n'est pas divisible par p.
On peut encore supposer a ^ o (mod p). Alors puisque A est divisible par/) tandis que ni a ni m ne le sont, la condition (2) s'écrit :
ou, plus simplement
c'est-à-dire
Dans ce cas et dans ce cas seulement, la congruence (1) a des solutions, et l'on voit comme dans le premier cas qu'elle a des solutions où les valeurs de x, y sont premières entre elles. On a donc le résultat suivant :
Soit (a, 6, c) une forme primitive de déterminant A. Soit p un facteur premier impair de A. Pour tous les entiers m non divisibles
(1) Directement : on détermine deux entiers 1, (i, par la condition X/o — |JiXû = D(a-o, yo) ; les entiers Xq + >/), Jq + [J-P sont premiers entre eux.
coNGRUENCE QX^ -+- hxj -+- cy^ =z m (mod r/.) 395
par p, représentables primitivement par la forme, l'expression ( — ] a la même valeur.
Exempîe. — On a vu (n" 210) que la forme x^ -\- xy -+- 4j* dont le déterminant a comme facteurs premiers 3 et 5 ne représente primitivement que des entiers congrus à o ou i (mod 3) et des entiers congrus à o ou I (mod 5).
Cette valeur de ( ] est dite un caractère de la forme, ou de la
classe.
3* Cas. IX = 8, A impair, m impair.
Dans ce cas la congruence ax^ + bxy -{- cy^ ^m (mod 8) est toujours résoluble par des valeurs de x, y premières entre elles.
En effet on peut supposer a impair. Alors les valeurs
répondent à la question. Car en substituant dans ax^ -h bxy -\- cy^ — m on trouve
(a— m)(6 — iy^bc[a — my{b—i)-hc(a—my[2-hc(a—m)Y—2bc{a — m)-
quantité évidemment divisible par 8, puisque a, 6, m sont impairs.
4" Cas. rj. 1= 8, A ^ o {mod 8), m impair.
Nous pouvons encore supposer m impair. Pour voir si la congruence
ax^ + bxy -\- cy^ ^ m (mod 8)
est possible nous allons donner à a; et y tous les systèmes de valeurs possibles non toutes les deux paires (mod 8) et examiner les résultats obtenus dans ax'^ -+- bxy -h cy'-.
iNous simplifierons le calcul de la façon suivante. On a :
ax^ -\- bxy -h cy^^a'^iax^ -h bxy -h cy^)=a\ (ax-^--y\ — ^y^ (mod 8)
Posant
2*^ Wmod 8)
396 THÉORIF. DES NOMBRES
on en tire
2 ' J (mod 8).
De plus si X et Y ne sont pas tous les deux pairs, ac et y ne le sont pas non plus.
Donc les valeurs que prend (mod 8) l'expression ax^ -\- bxy -+- cy^
sont les mêmes qiie celles que prend l'expression ai X^ — r ^* )
quand on donne à X, \ tous les systèmes de valeurs possibles (mod 8) c'est-à-dire à X^ et Y^ les valeurs o, i, 4» D'ailleurs on négligera les résultats pairs. On trouve ainsi
^' a, a(.-^), a(i-4.f). «(4 - f )• On voit qu'on est amené à distinguer suivant les valeurs
Si j- ^ i ou — 3 [mod 8) on voit que m peut être congru à
± a, ± 3a, c'est-à-dire à n'importe quel reste impair (mod 8).
Dans ce cas la considération du module 8 ne donne aucun caractère.
Si ^ ^ 3, 4 ou — I {mod 8) on voit que m peut être congru à
a ou — 3a et non à d'autres valeurs. Donc m^ a (mod 4). D'où
Dans ce cas la valeur ( — i) ^ est un caractère de la forme ou de la classe.
Si T ^ 2 (mod 8) on voit que m peut être congru (mod 8) à
rb a et non à d'autres valeurs ce que l'on peut exprimer par
Dans ce cas la valeur de ( — i) ^ est un caractère.
