CARACTERES D UNB CLASSE PRIMITIVE. GENRE
Si j^ ^ — 2 {mod 8) on voit que m peut être congru (mod 8) à a ou à 3a et non à d'autres valeurs.
Dans ce cas ( — i) * ^ est un caractère.
Enfin si t^ ^ o (mod 8) on voit que m ne peut être congru (mod 8) qu'à a. Dans ce cas on trouve deux caractères, à savoir
(-i)^^et(-i)~^.
4' Cas. tj, est quelconque. — Il serait maintenant facile de discuter la congruence ax- -+■ bxy -\- cy^ ^m (mod u.) quel que soit |7-. Cette discussion n'offre pas de difficulté, mais nous n'aurons pas besoin de ses résultats et nous ne la développerons pas.
212. Caractères d'une classe primitive. Genre. — Soit une classe primitive de déterminant A, soient p, q, ... les facteurs premiers de A. Soit m un entier impair premier à A et représentable d'une façon primitive dans la classe. On vient de voir que les
quantités [ — )> (— ) ... ont les mêmes valeurs pour tous les entiers m.
Si de plus A est pair et que
7-^3, 4 ou — I (mod 8) la quantité ( — i) ' a aussi la même valeur
pour tous les en tiers m
si -^ 2 (mod 8) » (—0 * »
n Y^ o » les quantités ( — i) ^ et( — i) ont ...
Ce sont toutes ces quantités, invariables pour les différents entiers m, qu'on appelle les caractères de la classe. Soit v, le nombre de» facteurs premiers impairs de A. Il y a
V caractères si A impair
V n » » pair et y- ^ -+- i ou — 3 (mod 8)
Quand deux classes ont les mêmes caractères, on dit qu'elles sont du même genre. Le genre d'une classe étant connu on en déduit certaines formes linéaires auxquelles appartiennent forcément les entiers représentables primitivement par cette classe.
\" Exemple. D = i5 = 3. 5. — H y a deux classes primitives, celles des formes (i, i, Zj) et (2, i, 2), On trouve dans la première classe
dans la seconde
et
et
Il y a donc deux genres, chacun d'eux ne contenant qu'une classe. Au premier genre correspondent les expressions linéaires
au second les expressions linéaires
2' Exemple A = 96 = 2" .3. — H y a quatre classes primitives, celles des formes
(i, o, — a4), (— 1, o, 24), (4, 4, — o), (— ^, — 4, 5). Il y a trois caractères :
On construira facilement le tableau suivant :
Formes linéaires
II y a quatre genres, ne contenant chacun qu'une classe.
RELATION F..NTKE LES CARACTERES d'u.NE CLASSE PRIMITIVE 899
3° Exemple D := 56 = 2' . 7. — Il y a quatre classes primitives, •celles des formes •
Il y a deux caractères : (-) et ( — i) ^ . On construira le
tableau suivani
Formes linéaires
Il y a deux genres contenant chacun deux classes.
213. Théorème. — Les caractères de la classe principale sont tous égaux à i .
Car dans la forme principale le premier coefficient est i. Les
caractères sont donc (- j, (i) ' , etc., ils sont donc tous égaux
ài.
Définition. — Le genre auquel appartient la classe principale et ^ont tous les caractères sont égaux à i s'appelle le genre principal.
Théoukme. Deux classes inverses appartiennent au même genre.
— Car elles représentent d'une façon primitive les mêmes entiers.
