Relation entre les caractères d'une classe primitive

— Entre les différents caractères d'une classe primitive existe une relation qui ne dépend que du déterminant. Et même si l'on se borne aux déterminants-noyaux (c'est-à-dire qui ne sont divisibles par aucun carré différent de i), cette relation est indépendante du déterminant et elle se réduit à ceci :

Le produit de tous les caractères d'une classe primitive appartenant à un déterminant noyau est égal à i.

Soit

p, q, ... étant les facteurs premiers impairs de A.

Soit m un entier impair, positif, premier à A, représentable primitivement par une forme primitive de déterminant A. La congruence

x^ -4- paj j-^ ^ o (mod m)

est possible. Donc

- étant le caractère quadratique généralisé (n° 196). Donc

\ m j \m) \mj \m)

D'après la loi de réciprocité et les théorèmes complémentaires, cette relation peut s'écrire

D'autre part, on a :

Mais

Donc

RELATION EKTRE LES CARACTERES d'cNE CLASSE PRIMITIVE ^01

^ ^ -(^^^ +?1:^ -+-... )(modZi).

Donc

L'égalité (4) donne alors

Mais d'ailleurs

Donc

— (mod a).

m — I as

Considérons maintenant différents cas :

I" Cas. A impair. — Alors s = o et A ^ i (mod 4).

La relation (5) s'écrit

<«) (rA

x^/mx?

Or dans ce cas f — I» ( - j, ... sont les seuls caractères. La relation (6) est donc une relation entre les caractères. Cette relation ne se réduit pas à une identité car pour cela il faudrait que a, |3, ... fussent tous pairs. Si A > o cela voudrait dire que A est carré parfait, ce qui n'est pas ; et si A -< o cela serait incompatible avec A ^ I (mod /j).

De plus si A est un déterminant noyau, les exposants a, |3, ... sont tous égaux à i et la relation (6) se réduit à ce que le produit des caractères est égal à i .

Cauen. — Théorie des nombres, t. II, 26

2® Cas. A pair, r ^ 3 ou — i [mod 8). — Alors s = 2 et — ^ — I fmod 4). La relation (5) s'écrit :

Mais dans ce cas les caractères sont ^-j>(-j,...et( — i) ^ .

La relation (7) est donc une relation entre les caractères, et qui ne se réduit pas à une identité puisque l'exposant du dernier caractère dans la relation est égal à i.

De plus si A est un noyau les exposants a, ^, ... sont tous égaux à I et la relation se réduit à ce que les produits des caractères est égal à I .

3" Cas. A pair, r "^Â (mod S). — Alors s = 4 et la relation (5)

s'écrit :

(«) (Fr("f-[(-)-]^=..

Les caractères sont (-U (-), ... et ( — i ^ . La relation (8) est donc une relation entre les caractères, et qui ne se réduit pas à une identité, car pour cela il faudrait que a, ^3, ••• -^ — ^

fussent tous pairs ce qui est impossible, car a, S, ... élant pairs il en résulterait ; si A était positif qu'il serait carié parfait, ce qui n'est pas ; et si A était négatif il en résulterait que — A serait carré

parfait par suite aussi ~^^ et l'on aurait

=g- = I (mod 4).

Alors — -^ — serait impair, ce qui n est pas.

Dans ce cas A n'est jamais un noyau puisqu'il est divisible par i6.

RELATION ENTRE LES CARACTERKS d'uNE CLASSE PRIMITIVE 4o3

4® Cas. A pair, 7- ^ ± 2 {mod 8). — Alors £ = 3 et la relation

(5) s'écrit

c'est-à-dire, puisque ^ — i est pair

Les caractères sont (-)»(-),... et ( — 1) . La relation (9)

est donc une relation entre les caractères et qui ne se réduit pas à une identité puisque l'exposant du dernier caractère est égal à i.

De plus si A est un noyau les exposants a, ^, ... sont tous égaux à I et la relation se réduit à ce que le produit des caractères est égal à I .

5* Cas. A pair, r ^ o (mod 8). — Alors £ > 5 les caractères

sont (-\ (-),...(— 1) ® , (~ ly ' et la relation (5) est

donc une relation entre les caractères et qui ne se réduit pas à une identité, car pour cela il faudrait que

oc 3 .

fussent tous pairs ce qui est impossible, car a, jS, ... étant tous pairs il en résulterait si A était positif qu'il serait carré parfait, et

si A était négatif il serait de la forme — 2^(4^ -h i) et ^

serait égal à — 2h — i et par conséquent impair, ce qui n'est pas. Dans ce cas A n'est jamais un noyau puisqu'il est divisible par 16.

Exemples. — Dans le premier exemple du n° 212 les caractères satisfont à la relation

4o4 THÉORIE DES .NOMBUES

dans le deuxième, à la relation

dans le troisième, à la relation

215. — On est maintenant conduit à se demander réciproquement si : élant donnés des caractères saiisjaisant à la relation (5) il y a une ou des classes de déterminant A possédant ces caractères.

La réponse est affirmative et sera démontrée plus loin. On démontrera aussi que tous les genres contiennent le même nombre de classes.

Admettant provisoirement ce résultat il est facile de voir combien il y a de genres. Car il y a / caractères, X étant étant égal à V, V H- I ou V -h 2 suivant les cas (n° 212). Chaque caractère est susceptible de deux valeurs -i- ou — i, mais la relation (5) détermine un de ces caractères connaissant les ). — i autres. On voit ainsi qu'iV y a 2 ~ ' genres. Mais pour le moment nous savons seulement qu'il y & au plus 2^~^ genres.

216. — Il est facile maintenant de généraliser les résultats des chapitres XV et XVII. Parmi tous les entiers représentables primitivement dans les classes primitives de déterminant A il sera facile de distinguer, d'après leurs caractères, ceux qui sont représentés par les classes d'un certain genre. Et au cas oii chaque genre ne contient qu'une classe on a une généralisation absolue des résultats précédents.

1" Exemple. A = 96. — (Voir le tableau des classes et des genres dans le second exemple du n* 212).

La condition nécessaire et suffisante pour que m ait des représentations par une forme de déterminant 96 est que la congruence

x^ ^ 2^ (mod m) soit possible. Pour cela il faut et il suffit que les facteurs premiers de

GENEKALISATIOM DES RESULTATS DES CHAPITRES XV ET XVll [\00

m différents de 2 et 3 soient de l'une des formes ^lih ± i, it 5 que le facteur 2 n'entre dans m qu'à l'exposant o, i , 2 ou 3 et le facteur 3 à l'exposant o ou 1. Si on laisse de côté les entiers divisibles par 2 ou 3, on voit d'après le tableau du n° 212 que les entiers de la forme 24/1 -f- 1 sont représentables par la classe ( i , o, — 24) ceux de la forme a^h — 1 par la classe ( — 1, o, 24) etc. En particulier tout nombre premier de la forme 2^/1 -+■ i est décomposable (d'une infinité de façons) en la différence entre un carré et 24 fois un carré :

2^ Exemple. A = — D = — 56. — Les entiers impairs non divisibles par 7, représentables par une classe de déterminant — 56. sont ceux dont tous les facteurs premiers sont de l'une des formes 56/i -+- 1, 3, 5, 9, i3, i5, 19, 23, 25, 27, 39, 45. Ceux qui sont de l'une des formes 56/1+19, i5, 23, 25, 39 sont représentables primitivement par l'une des classes (i, o, i4), (2, o, 7) ; ceux qui sont de l'une des formes 56/i + 3, 5, i3, 19, 27, 43 le sont par l'une des classes (3, 2, 5), (3, — 2. 5).

Remarque. — Pour les entiers de l'une des formes 56/i -+- 3, 5, ... ils sont représentables à la fois par les deux classes (3, 2, 5), (3, — 2,5) car ces deux cla.-ses sont inverses. Pour les entiers de l'une des formes 56/i H- 1, 4- 9, ... une pareille remarque ne s'applique pas, car chacune des classes (1,0, i4). (2, o, 7) est l'inverse d'elle-même.

Or on verra plus loin qu'un nombre premier n'est représentable que dans une classe et dans son inverse. Donc les nombres premiers représentables par (i, o, i4) ne le sont pas par (2, o, 7) et inversement.

Exemple. 23 =^ 1 . 3- H- i4 • i^ n'est pas représentable par la

forme 2, o, 7 7i=:2.2^-f- 7.3^ n'est pas représentable par la

forme (1, o, i4).

216. — La théorie des genres est en rapport avec la question de la possibilité de l'équation t^ -h olu — kii'^ = i .

Pour que cette équation soit possible il faut et il suffit que la classe principale et cette classe changée de signe soient identiques. Pour cela il faut qu'elles soient de même genre.

Or si la première représente un entier m la seconde représente primitivement l'entier — m, donc, pour qu'elles aient même genre il faut et il suffît que m et — m aient les mêmes caractères, c'est-à-

4o6 THÉORIE DES NOMBRES

dire qu'il n'y ait que des caractères qui ne changent pas par le changement de m en — m. Or les caractères qui jouissent de cette

propriété sont les caractères ( — j où p ^ i (mod 4), et le caractère

( — i) ^ , tandis que les autres caractères changent.

Donc pour que l'équation soit possible il faut que les premiers caractères seuls existent. On retrouve ainsi les conditions du n^ 128 à savoir que les facteurs premiers impairs de A soient congrus à i

(mod 4), et de plus, si A est pair, que r- ^ i, 2, 5 (mod 8).

Mais ces conditions étant remplies il s'ensuit seulement que la classe principale et cette classe changée de signe sont de même genres et non qu'elles sont identiques.

I. — Etudier la représentation par les formes (i, 1,9) et (3, 1. 3j par les formes (i, 1, — 5) et ( — 1, — i, 5).

II. — Trouver tous les genres de classes primitives correspondant aux discriminants 108, 1.35 (Voir exercice I, chapitre XIV).

III. — Trouver tous les genres de classes primitives correspondant aux déterminants 101, io4i 108, 117 (Voir exercice II, chapitre XIV)-