CHAPITRE XIX
DIFFERENTES ESPÈCES DE DÉVELOPPEMENTS EN FRACTIONS CONTINUELLES RÉGULIÈRES
217. — On peut varier le procédé indiqué au n* 83 pour le développement en fraction continuelle. Dans ce procédé on posait :
s = «0 + r Si = ai + -,... si, = ak-\-- — » •••
de façon que afc.fùt la valeur à une unité près par défaut de Sk. On peut, au lieu de cela, prendre pour a,, la valeur à une unité près par excès de S/^ ; ou bien prendre tantôt la valeur par excès, tantôt la valeur par défaut. On obtient ainsi différentes espèces de développement dont nous allons examiner les propriétés.
Développement par excès. — Ce développement est constitué de façon que toutes les réduites y soient par excès. Pour cela il faut évidemment prendre pour a^ la valeur de s à une unité près par excès, pour ai la valeur de ii à une unité près par défaut, et ainsi de suite en alternant. Mais alors Si est négatif, donc ai l'est aussi ; s, est positif, donc a^. l'est aussi ; et ainsi de suite. Pour mettre les signes en évidence nous changerons de notations et nous poserons :
«0 étant la valeur de So à une unité près par excès, alors
Si>l
puis ;
«1 = Oi — -
ûi étant encore la valeur de si à une unité près par excès.
4o8 THÉORIE DES NOMBRES
Alors :
Ol > 2 S2 > i
et ainsi de suite. Au bout de /c + i opérations on a
Oâ-
aie —
les a sont des entiers ; a^ est quelconque, ai, Uz, ... sont > 2, Sk+i est plus grand que i .
Si s est irrationnel ce procédé ne s'arrête pas.
On obtient ainsi des réduites successives, toutes par excès :
Po __ Oo ^ P i __ apOi — I ^ P2 apajai — «0 — 0-2
Qo I Qi Oi i^i OiOa — i
avec les formules de récurrence :
"n QnPn-t Pn 2 Qn = OjiQn-l — Qn-2-
On a de plus :
PnQ«-i-Pn-iQ„=i.
On démontre facilement que les dénominateurs Q„ sont positifs
et vont en croissant.
Réciproquement, dans une fraction continuelle illimitée de cette
P espèce, r^ a une limite.
Pour le démontrer on remarque (cf n° 97) que
Qn ~ Qo
^rt ' Tl— 1
Qo ^ QoQi "" Q.Q.
Q»-iQ.
Donc pour démontrer que ^ a une limite il suffit de démontrer
que la série dont le terme général est f^ — j-p est convergente. Or on a :
Q„ — Q„i = {an — l)Q„, — Qn-ï > Qn-1 — Qn-2.
De même
Nl«— 1 Vn— 2 ^ V'i— 2 X«— 3
Qi > Qi - Qo
FRA0T10?<S COTI.NUELLES PAR EXCES
Ajoutant membre à membre il vient :
Q. - Qi > Qu. - Qo- Or Qo = I et Q, = a, > 2. Donc
De même
Q. >Qo+i.
Ajoutant membre à membre il vient, en remarquant que Qo = i Q„ > n -j- I .
La série dont le terme général est 7=^ — pp est donc une série à
termes positifs dont le terme général est plus petit que / > •
Or celte dernière est convergente Car
et par suite
La série en question est donc aussi convergente. Exemples :
Les réduites successives sont :
12 7 la '
pour le premier développement :
pour le second.
4lO THÉORIE DES NOMBRES
218. — Cherchons une limite de l'erreur commise en prenant p jY pour valeur approchée de s. Cette valeur est par excès, a„ est
la valeur de Sn par excès. Si au lieu de a» on mettait an — i, on aurait une valeur de s par défaut, alors au lieu de :
Qn «tiQ/i-1 — Qn-2
on obtiendrait :
Donc :
(a« — 0Q«-1 — Qn-2 Qn ~ Qn l
L'erreur de ^" est donc plus petite que :
Qn Qn-Qn-i ""^ Qn(Qn-Q«-,)*
