Comparaison entre deux développements par excès
Soit :
Si ao <; 60 on a a <C 6 ; si «o > 60 on a a ]> 6.
Si ao = 60 et fli <C 61 on a a <; 6 ; si a, > 61 on a > 6, etc,
On en déduit, comme au n° 99, que si un nombre est compris
p pp.
entre f=^ pr^^=i ^^ tt* ^^daites de a, les k -+- i premiers éléments
de son développement en fraction continuelle par excès sont :
Oq, «2, O/..
On démontre aussi comme pour les fractions continuelles ordinaires que si une fraction continuelle par excès illimitée est telle
P que ~ tende vers s, inversement, s réduit en Jraction continuelle
xn
par excès donne justement cette fraction là.
Le résultat du n" 101 devient ici : Une condition nécessaire et
FRACTIO.NS CONTINUELLES PAR EXCES
4ll
suffisante pour que ^ appartienne au développement de s is <. pzj
€st que :
en appelant Q' le dénominateur de l'avant dernière réduite dans le
p développement de jz-
220. — Quelles sont les particularités qui se présentent lorsque le nombre que l'on développe est rationnel ? Dans ce cas on peut le mettre sous forme de développement limité par exemple :
On peut augmenter le nombre des éléments en remplaçant 3 par l\ et écrire :
Ceci n'est pas vraiment un développement du genre de ceux que nous considérons parce que le dernier élément est i. Mais on peut
continuer le procédé en remplaçant ce dernier élément i par 2
et ainsi de suite. On a ainsi :
Les nombres rationnels sont ainsi représentés par un développement illimité périodique, la période étant formée du seul élément a.
Réciproquement un tel développement est convergent et tend vers le nombre rationnel qui lui a donné naissance. Pour le
démontrer il suffit de démontrer que le développement 2 •••
est convergent et tend vers i . Or on démontrera facilement que la
71™* réduite est égale à
Tout développement illimité dont les éléments ne sont pas, à
4l2 THÉORIE DES >OMBRES
partir d'un certain rang, tous égaux à 2 représente un nombre irrationnel.
221. Développement par défaut. — Ce développement est constitué de façon que toutes les réduites y soient par défaut. Pour cela on prend pour Oo la valeur de s par défaut puis, posant :
on développe Si en fraction continuelle par excès. On obtient ainsi :
(i) s = ao+ ^
Oi —
dans lequel l'élément ai est précédé du signe + et tous les éléments suivants du signe — .
On voit que si (i) est un développement par défaut, le développement :
s — On a.
est un développement par excès. Il en est de même du développement :
Ces remarques nous dispensent de plus de détails sur cet autre genre de développement.
224. — Pour généraliser les résultats du n° 107 et ceux relatifs aux nombres quadratiques, il faut considérer à la fois des développements par excès et des développements par défaut. On démontrera que :
Si deux nombres sont proprement équivalents leurs développements par excès sont identiques à partir d'un certain quotient incomplet; il en est de même de leurs développements 'par défaut.
Si deux nombres sont improprement équivalents le développement par excès de l'un est identique à partir d'un certain rang au développement par défaut de F autre.
Les réciproques sont vraies.
FUnCTIONS CONTIMELLES PAK EXCÈS /[iS
La relation homographique qui lie les deux nombres lie aussi leurs réduites arrêtées aux mêmes éléments, à partir d'un certain rang,
223. Développement des nombres quadratiques réels. — Toute fraction continuelle {par défaut ou par excès) périodique est égale à un nombre quadratique {sauf une exception). Réciproquement, tout nombre quadratique se développe en Jraction continuelle {par défaut ou par excès) périodique.
Soit d'abord une fraction immédiatement périodique par excès. Imitant la démonstration et les notations du n" 110 on trouve :
fl PaQ - Pa-1 ■ Q.o-Q,i
ou :
Donc 0 est quadratique ou rationnel. D'ailleurs on sait que le seul cas où il est rationnel est lorsque tous les éléments sont égaux à 2. C'est le cas d'exception.
Le cas de la fraction non iromédiatemeill périodique s'en déduit comme au n** 110.
Pour la réciproque on imitera la méthode du n" 111. Pour que cette méthode s'applique il n'est pas besoin qu'en posant :
on ait I £i I <; I pour toute valeur de k, 11 suffît que | Sk | soit borné, pour une infinité do valeurs de k. Or :
D'autre part :
QaIQa-Qa-O"" ! Q^"
Qk-i ' ttk-i Or puisque, par hypothèse, oj n'est pas rationnel il y a une
^lk
infinité de % qui sont plus grands que 2. Donc, pour une infinité de valeurs de k on a ^— > 2, et par suite :
— co <
Pour ces valeurs de A:, e est plus petit que 2. Quelle est celle des deux racines de l'équation (2) qui est égale à la valeur de la fraction rationnelle. C'est la plus grande. Eneflfet,
puisque u ==■ Oo
est immédiatement périodique on a
flo >• 2. Donc 5 >» t. Or si dans le premier nombre de l'équation (2) on substitue i on trouve Qk — Qk-i — P/c + P^-n c'est-à-dire
K - I) (Q„, - P,i) + Q,2 - Pa 2
D'autre part
et
Donc l'expression précédente est négative, etc. Analogue du théorème de Galois (n" 113). Si l'on considère une fraction continuelle par excès immédiatement périodique.
et l'équation (2) à laquelle elle satisfait, l'autre racine de cette équation est
Qk
• ÛA-l
ûfc-l
C'est le développement de d par défaut.
Nous laissons au lecteur le soin d'établir la démonstration, analogue à celle du n° 113. On généralise comme au n" 114.
Pour qu'un nombre quadratique réel soit développable en une fraction continuelle par excès immédiatement périodique il faut et il suffit que ce nombre soit plus grand que i et que son conjugué soit compris entre o et i.
Nous laissons, au lecteur le soin de la faire la démonstration analogue à celle du n° 115.
FRACTIONS CONTINUELLES PAR EXCES 4l5
Les énoncés des n°' 116 et 1 17 s'appliquent aux développements par excès.
La méthode du n° 127 pour la résolution des équations de Fermât s'applique aussi. Mais à cause de
PnQn-, - Pn-lQ« -= + 1
elle ne donne que les solutions de l'équation :
t^ + ota — ku^ = -f- 1 (').
Relativement à l'équivalence des nombres quadratiques réels et à celle des formes quadratiques binaires indéfinies, les développements en fractions par excès donnent des énoncés plus simples que ceux des n"* 171 et 174, ces nouveaux énoncés sont :
Pour que deux nombres quadratiques soient proprement équivalents il faut et il suffit que leurs périodes se déduisent tune de Fautre par une permutation circulaire et pour que deux formes indéfinies soient de même classe il faut et il sujfit que leurs premières racines satisjassent à cette condition (').
On définira sans peins des formes réduites (n° 175), les couples de nombres réduits, les chaînes de couples réduits fNote II du chapitre XH).
(^) On en déduit d'ailleurs facilement celles de l'équation t- -f- p'u — tu* «s — i» Car on sait que, si cette dernière est possible, en appelant t^ mi, sa solution fondamentale, la solution fondamentale de l'autre est donnée par
Donc, connaissant l, u, il ne reste qu'à voir s'il y a des valeurs entières de (,, Ui, satisfaisant aux conditions précédentes, ce qui est facile vu que la première, à cause de A- > o, se résout facilement par tâtonnements.
(^) Mais il faut remarquer que cette simplification dans l'énoncé ne tient pas à la nature de* fractions continuelles par excès mais à la façon dont nous les
avons écrites. Soit une fraction continuelle ordinaire a^ -\- — -x ... ; on peut I écrire 09 — r — ^ r — ^ ..., en posant
60 = a^ 6j = — a, ... fcî„ = ain ^în+i = — a2n+i
Avec cette notation l'énoncé pour les fractions continuelles ordinaires serat identique à celui donné ici. Inversement si les fractions continuelles par excès
étaient écrites ao + — r 1 . . l'énoncé relatif à ces fractions serait celui du ' flj -f- I
no 171.
/|l6 THÉORIE DES NOMBRES
Nous donnerons plus loin les relations qui existent entre le développement ordinaire, le développement par excès et le développement par défaut d'un même nombre.
224. Autres développements en fractions continuelles. — l!]tant donné un nombre s on peut toujours poser
«Q, Oj, ... a„i étant des entiers quelconques. On ne peut espérer de résultats intéressants qu'en les assujettissant à certaines conditions. Par exemple dans le développement ordinaire a„ est la valeur à une unité près par défaut de s„ ; dans le développement par excès ûq, a^, ... sont par excès et a^, a^, ... par défaut ; c'est le contraire dans le développement par défaut.
On aperçoit tout de suite une quatrième espèce de développement, celui dans lequel a» est toujours la valeur de Sn par excès. A partir du second les a„ sont tous négatifs. En mettant leurs signes en évidence on obtient un développement
de sorte que ai -j- — — ... est le développement ordinaire de — ^— •
Ainsi des quatre développements considérés jusqu'à maintenant le troisième se ramène immédiatement au second et le quatrième au premier.
Ces quatre développements font partie d'une classe plus générale de développements, ceux dans lesquels a„ est toujours une valeur à une unité près de Sn, tantôt par défaut, tantôt par excès, suivant les valeurs de n et suivant une loi qui caractérise le développement. Nous les appellerons développements régulières (^). Nous écrirons ces développements sous la forme :
(^) Quelques auteurs les appellent semi-réguliers, Téser\Anl le nom de régulier à celui que nous appelons développement ordinaire.
FRACTIONS CONTINUELLES RÉGULIÈRES ^ly
les a étant tous positifs, les s égaux à -1- ou — i. Et nous posons :
Etant donné un nombre s, pour définir un développement régulier de ce nombre il suffit de donner une règle définissant la suite des s. Ainsi dans le développement ordinaire les s sont tous positifs, dans le développement par excès ils sont tous négatifs. Tout élément Cn est l'entier compris entre Sn et Sn — c,i+i, sauf le dernier Aa, si le développement est limité, qui est égal à 5^, Dans ce dernier cas s est rationnel et réciproquement, tout nombre rationnel peut se mette sous forme de développement limité. On le voit comme plus haut.
Dans un développement régulier les quotients incomplets, sauf peut-être le dernier, sont plus grands que i, et, réciproquement, cette propriété caractérise les développements réguliers.
Dans un développement régulier si a„i = i (n > i) on a £„ >> G. En efiet, puisque Sn > i, si an-i = i c'est que a„i est une valeur de 5„ par défaut. Donc Sn > o.
La réciproque est vraie. Tout développement oii les a égaux à I sont toujours suivis d'un £ > o est régulier.
