Les réduites ^r? se calculant de proche en proche par

les formules (n° 94)

Qn = «7iQ,i-i H- 2/iQn-i-

Cherchons les signes des dénominateurs Q„ et s'ils croissen avec l'indice.

£„ > o on a Q„ > Q„i.

Donc, comme Q, =■- i, on voit que : parcourant la suite Q,, Qo, tant quon arrive pas à un indice n tel que £„ <; o, les termes de cette suite sont positifs et croissent avec l'indice.

Supposons qu'on arrive à un £„ égal à — i . Alors

Q/. = «nQ-.-i — Qn-2.

Si a„ >> I, on a encore Q^ > Q,i.

Cader. — Théorie des nombres, t. 11. 27

4l8 THÉOftlE DES .NOMBRES

Mais si on a

Qn = Q/i-i — Qn— 2

On a donc encore Q„ > o, mais Q„ << Qn,. Considérons alors Qn+j. Remarquons que de Un = i on déduit Sn+i = + i. Donc

Qn+l = Cn-i-iQrt H- Qit-j.

Donc

Qn + i > Qn-i«

On voit ainsi que :

Les dénominateurs Q„ sont positifs. En général ils croissent avec l'indice. Il y a exception lorsque an = i et s^-i — — i. On a dans ce cas Q„ •< Q„j ; mais l'on a, en tout cas, Q„+i >- Q„i de sorte que la décroissance des Q„ ne peut se prolonger et que, dans tous les cas, Qn augmente indéfiniment avec C indice.

On en déduit que toute fraction continuelle régulière illimitée est convergente ('). En effet, de l'inégalité Q„|., >Q„i on déduit: Qîn-i ^ w et Qîn > 2n -f- I. Donc le terme général de la série

, . , 1 1 /• • • Il / \ • ( 0*~*£l£2 ••• Sfc

équivalente a la traction continuelle (n**97} qui est ^ k — q —

à une valeur absolue plus petite que r— ^ si k est pair et que

si k est impair. On en déduit qu'elle est

convergente. ^

On démontrera que la valeur d'une fraction continuelle régulière

est comprise entre 7=^^ et J" £<c+i fc-i ^ L'erreur commise en pre-

nant ~ pour valeur de la fraction continuelle est du signe de

( — i)*£i£2 ... £4+1 et plus petite, en valeur absolue que

(^) Plus généralement : toute fraction continuelle «o +

où les a sont des nombres réels quelconques est convergent si l'on a 02 ^ i pour toute valeur de i et de plus a.> >• 2, lorsque c^,^ = — i. (H. Tietze, Malk. Ann., t. 70 (191 1) p. 236).

DEVELOPPEMENT COURT

226. Dévreloppement court. — Un développement régulier intéressant est celui où l'on choisit toujours celui des deux quotients incomplets qui est le plus approché (^). Nous l'appellerons le développement court (voir n" 228). Dans ce développement tous les quotients complets sont supérieurs à 2, sauf, peut-être, le dernier s'il y en a un. Les quotients incomplets sont donc égaux ou supérieurs à 2, et quand un quotient incomplet est égal à 2, il €st suivi du signe -+- (à moins que ce ne soit le dernier). Réciproquement, un développement qui jouit de ces propriétés est un développement court.

Exemple :

Dans ce développement puisque aucun élément n'est égal à i , les Q,. sont positifs et croissent avec l'indice (n" 225). Mais il y a ^plus et l'on peut voir que

Qn ^ 1 -+- v/5

En effet, on a :

Qn-l "^ «n-l

Pour avoir la valeur la plus petite possible de 7=r^ il faut don-

Sjn — 1

Tier à ttn sa valeur la plus petite possible, soit 2 , et prendre £« = — i ; puis il faut prendre pour a„i la valeur la plus petite possible et, puisque £„ = — i, cette valeur est 3 ; il faut prendre e^-i = — i

et a„ o = 3, etc. Donc

Qn-i

(^) MiK5iGER0DE, Nackr. V. d. K. Gesellsch. d. Wiss. in Gôtting (1873). A. HuRwiTz, Act. math., t. la (1889) p. 867.

la fraction continuelle du second membre ayant ]n éléments^ a fortiori

Qn i ^ 3 -

la fraction continuelle étant prolongée indéfiniment ; ou enfin

On voit même que q^ ne peut tomber au-dessous de 2 que si a„ = 2 et e„ = — i.

227. Limite de Terreur commise en s'arrêtant à] une p réduite ^p . On a :

Qa(Q*«*+i + ^k+iQ.k-i) ç^il^

+1 -I- £fc+i

Soit d'abord £aj i = i. On a alors

car s^|i ^2.

Soit ensuite e^-^i = — i. Alors

QVa+, ^ 2Q2,

Or :

Donc

... = au —

QV «Hi

Ofc —

Mais £;c^i = — I entraine a^: >- 3, et d'autre part '5;i(.i >>]2. Donc :

Q^aY 2 -

""■^^ Q?" "QV

DEVELOPPEMENT COURT

On voit que que, dans tous les cas, l'erreur est inférieure à

228. Parmi tous les développements réguliers d'au nombre rationnel il n'y en a pas qui ait moins d'éléments que le développement court (*). — En effet soit un développement régulier qui ne soit pas le développement court. Nous allons montrer qu'on peut le transformer et l'amener a être le développement court sans augmenter le nombre de ses éléments.

Puisque le développement proposé n'est pas le développement court il y a dans ce développement un ou plusieurs quotients complets, différents de s lui même, et plus petits que 2.

Considérons le premier de ces quotients ; il sera de l'une des deux formes :

avec, dans les deux cas, k'> i.

Dans le premier cas

Sk-i = dh-i -Ipeut se remplacer par

Dans le second cas il peut se remplacer par

Ei+l

Ofc-h-

afc 2 H- ^A— 1 —

fr+i

Dans les deux cas on a remplacé la fraction continuelle proposée par une autre qui n'a certainement pas plus d'éléments qu'elle, qui en a même moins si a^^ -\- îk i = o avec /c > 2, et dans laquelle le rang du premier quotient incomplet inférieur à 2 a diminué. En

(}) Th. Vahlb», J. r. a. M., ii5 (iSgS), p aai,

433 THÉOBIB DES NOMDBES

continuant ce procédé on remplacera le développement propose^ par un autre ou il n'y aura plus de quotient incomplet plus petit que 2, qui sera par conséquent un développement court, et oii lenombre d'éléments ne sera certainement pas plus grand que dansle développement primitif.

229. Relation entre le développement court et le développement ordinaire. — Appliquons la méthode du n° précédent pour déduire le développement court du développement ordinaire. Soit

le développement ordinaire.

Si ai >• I, tto est le premier élément du développement de s

en fonction continuelle courte, et la première réduite est -j , identique à la première réduite ordinaire. Après quoi il faut développer

Si «2 > I» «1. 6st le second élément du développement court et la seconde réduite de ce développement est identique à celle dudéveloppement ordinaire. Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient complet 5n précédant un quotient incomplet a„4.i égal à I

Sn = On -H Z^

Sn+2

Le quotient incomplet Cn doit alors être remplacé par a„ et l'on doit écrire :

Alors la réduite d'ordre n n'est pas ry mais

(On-f- l)P„i -4-Pn-2

K 4- i)Q„i -+■ Q„2 on

Pn H- P>i i

DEVELOPPEMENT COURT

klZ

Mais, à cause de q„4 i = i, on a

P„ H- P„-i = P„+i, Qn -h Q„l = Q„+i.

p Donc la réduite d'ordre n du développement court est -^"— •

Vn+l

Après quoi, il faut introduire un signe — dans le développement et développer en développement court 5„j.jH- i, c'est à-dire:

Si a„4-3 > I > le premier élément de ce développement est a„^

la réduite correspondante est . "^" , — rr^ — '1 \"~^ <îui se réduit à

7^^ . Et ainsi de suite. En résumé :

Vn-r2

La suite des réduites du développement court se déduit de celle du développement ordinaire en supprimant les réduites qui précèdent les éléments égaux à 1, sauf que, s'il y a plusieurs éléments consécutifs égaux à 1, il ne faut dans cette règle tenir compte ni du deuxième, ni du quatrième, etc.

Exemple ; du développement ordinaire :

on déduit le développement court :

3 + Les réduites du premier sont :

îo

3io 38T

celles du second sont :

Ce qui précède permet de déduire les propriétés des fractions continuelles courtes de celles des fractions continuelles ordinaires.

Par exemple on retrouve ainsi la propriété ^y^ > ^ ' •

On voit aussi immédiatement de cette façon que le développement enjraction courte d'un nombre quadratique est périodique.

On peut, par suite, appliquer les fractions continuelles courtes à la réduction des formes quadratiques et à l'équation de Fermât (').

230. Développement long. — C'est celui où l'on choisit toujours celui des deux quotients incomplets qui est le moins approché. Les quotients incomplets sont toujours égaux à i où à 2. De plus tout quotient incomplet égal à i est suivi du signe +, tout quotient incomplet égal à 2 est suivi du signe — . Réciproquement, un développement dans lequel ces conditions sont remplies est un déloppement long.

Exemple :

Dans ce dernier développement, la fin i -j — peut être remplacée

par 2 . Tout développement d'un nombre rationnel peut ainsi se

terminer de deux façons différentes puisqu'on a :

Parmi tous les développements réguliers d'un nombre rationnel il ny en a pas qui ait plus d'éléments que le développement long.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer cette propriété et d'achever la théorie du développement long.

231. Transformation d'une fraction continuelle régulière quelconque en fraction continuelle ordinaire. Soit la fraction régulière :

Oo +

fli +

(*) MiNKiGERODE. Nachr. V. d. K. Gesells. d. Wiss. in Gôllingen (1878) p. 619.

TKANSFORMATION d'uN DEVELOPPEMENT RÉGULIEB, ETC. 425

dont on cherche le développement D en fraction continuelle ordi-

naire.

Si £i = I le premier élément de D est Oq. Si de plus £2 = i le second élément de D est ai, etc.

Soit :

El = £2 = ... = Ej = 1 et

(Nous dirons que le développement (3) est ordinaire jusqu'au quotient complet 5,-1 1, on peut d'ailleurs avoir j = o). On voit que <2o, fli, ... fli-i sont les i premiers éléments de D. On a d'ailleurs :

(4) s=ao +

Oi— 1

car on constate que les réduites d'indices i -f- i et / -f 2 de (4) sont identiques respectivement à celles d'indices / et / + i de (3) et que par conséquent, à partir de là, la suite des réduites de (4) est identique à la suite des réduites de (3).

Si Ot et aij^i sont différents de i le développement (4) est ordinaire jusqu'au quotient complet Si^z.

Si ai = I et Oi-if-i > i on écrit :

s = Oo +

ai +

fli-i + 1 + 1 a.-+i — 1 +

Si ai >> I et a.-i-i = i (alors Si^t = i) on écrit :

s = ao +

ai-i +

a.- — 1 -|- I Si+2 + 1

Si tti = Oi+i = I on écrit

a,i -\- 1 + fi

Dans tous les cas on obtient un nouveau développement qui est ordinaire jusqu'à 5i-j-2 au moins. On obtiendra donc ainsi autant d'éléments qu'on le voudra du développement ordinaire.

I. — Combien un nombre rationnel positif — a- l-il de développements

réguliers ? (*) (Les développements sont toujours supposés limités au premier quotient complet entier qui se présente).

11 y en a n. En effet soit a^ la valeur à une unité près par défaut

de - . Tout développement régulier de - commence par Qq ou par

Qq + I- Or on peut écrire :

= Oo + L —

Pour trouver tous les développements réguliers de — il faut trouver

tous ceux de - et de . Or en supposant le théorème vrai pour les

nombres rationnels de dénominateur plus petit que n, on voit que- - a r développements réguliers et que en a n — r, etc.

Exemple : ■

II. — Si l'on considère tous les développements réguliers d'un nombre rationnel, si l'on appelle i le nombre des quotients complets-

d'un des développements, la somme ^ — étendue k tous les développements est égale à a (^).

(1) Vahlen, J. r. a. M., t. ii5 (1896) p. 237. {^) Vahlen, J. r. a. M., t. ii5 (iSgS) p. 328.