I -4- I 2 Al -h 1 -H

(On démontre que la valeur de ce développement est égale à la tangente du radian).

IV. — Etudier le développement d'un nombre, obtenu en prenant toujours pou roA- la valeur à une unité près par excès de s/,. Démontrer que les réduites de ce développement sont, à partir de la seconde, lesmêmes que celles du développement ordinaire.

V. — Développements inverses. — Soit le développement régulier ::

Ol

On a

Qn

Mais ce second développement n'est pas forcément régulier car on peut avoir a/^. = i et s/, = — i.

Lorsque la loi du premier développement est telle que Oj^ = i entraîne s^;. :^ 1 le second développement est régulier aussi. Si de plus cette loi est indépendante de la Valeur de s, le second mode de développement sera dit l'inverse du premier. Il y a réciprocité, le premier mode de développement est l'inverse du second.

Exemple. — Si le premier développement est ordinaire, il y a un mode de développement inverse qui est aussi le développement ordinaire.

Si le premier développement est par excès il y a un mode de développement inverse qui est aussi par excès.

Si le premier développement est un développement court, il y a un mode de développement inverse caractérisé par la loi suivante : tous les O/i sont ^ 2 ; de plus a^- ^= 1 entraîne syr = 1 . Nous appellerons un tel développement un développement singulier. Il peut se définir de La laçon suivante : ùfi est l'entier défini par :

Sk —

il n'y a qu'une valeur pour a^ sauf si S/c est de la forme n -\

{n entier) auquel cas il y a deux valeurs pour a^, à savoir n el n -h i . Il en résulte que tout nombre a un développement singulier et un

seul sauf les nombres équivalents à qui en ont deux. En particulier :

VI. — Fractions continuelles à éléments pairs. — L'élément a^ est l'entier pair le plus voisin de s^. Au cas ou s^ est un entier impair il y 4 deux valeurs de a^ possibles, à savoir : s^ — i et s^ -t- i , et la fraction

Il a un mode de développement

se termme par ± a :^

inverse qui est le même.

VII. — Fractions continuelles à éléments impairs. — L'élément O/c est l'entier impair le plus voisin de s^. Au cas où s^ est un entier pair il y a deux valeurs de a^ possibles : s^ — i el s^-h i et la fraction se termine par zh I.