CHAPITRE XX
SUITES DE MEiLLEURE APPROXIMATION
232. — Dans ce qui va suivre on supposera toujours que les dénominateurs des fractions employées sont positifs (ce que l'on peut toujours obtenir en changeant, s'il le faut, le signe du numérateur).
Le premier théorème en date (*) dans l'ordre d'idées qui va nous occuper est le suivant :
Soil Q une réduite du développement en fraction continuelle ordinaire d'un nombres. Si ~ est une fraction qui s'approche plus de
s que ç:, on a n ^ Q. Si ~- ^^ f) s'approchent également de q l'un
d'un côté, t autre de lautre, on a encore m >« Q sauf, peut-être, si
Q est la première réduite.
Nous ferons dépendre ce résultat du résultat plus général suivant :
Appelons fractions conjomtes deux fractions q, q> telles que
PQ' — P'Q =: db I. Remarquons que deux fractions conjointes sont irréductibles.
Lemme. — Si une fraction — est comprise entre deux fractions
conjointes q ^^ fy > son dénominateur n est plus grand que Q et Q' .
(^) HuYGHENs, Descriplio aulomali planetarii.
430 THÉORIE DES ÎNOMBRES
En effet, soit, pour Qxcr les idées ^y, > q de façon que
°^/ï QQ'~Q
,»Q — nP ^ T
La deuxième de ces inégalités donne
n > {niQ — nP)Q'
*t comme mQ — ;iP esi un entier positif,
On voit ainsi que n est plus grand que Q'. D'autre part les inégalités (i) peuvent s'écrire
•et le même calcul appliqué aux trois fractions q, , et -q—
montrera que n >> Q.
Revenant au théorème énoncé d'abord, considérons la réduite
<[ui précède ^r, soit ^,. Les fractions ?s et ^^ sont conjointes.
Comme la fraction ^ est moins approchée de s que ^ elle est à
fortiori moins approchée que — . D'ailleurs ?â et 7y sont de part et
-d'autre de s. Donc - est compris entre q et ^^ .
Donc n >> Q.
Il peut y avoir exception pour la première réduite ~ , car la
réduite précédente étant - le raisonnement ne s'applique plus. En
fait la première réduite —, est peut-être moins approchée que
— dont le dénominateur n'est pas plus grand.
Il est naturel de mesurer la simplicilé d'une fraction irréductible â la grandeur de son dénominateur et de dire que les nombres «ntiers sont plus simples que les fractions irréductibles de dénominateur 2, celles-ci que les fractions irréductibles de dénominateur 3, etc. On peut alors dire que :
Toute Jraclion qui approche plus de s qu'une réduite de s est
moins simplequecette réduite[sau( peul-èlve poui'\apvemihreTéduhe).
La réciproque de cette proposition est-elle vraie? N'y a-t-il que
es réduites de s qui jouissent de celte propriété ? Nous allons voir
{ue non en cherchant toutes les fractions irréductibles qui en
ouïssent.
233. — Dans cette recherche nous distinguerons d'abord les fractions plus petites que s et les fractions plus grandes et nous poserons les deux problèmes suivants :
1° Parmi les fractions inférieures à s trouver celles — qui
jouissent de la propriété suivante : toute fraction injérieure à s et
plus approchée de s que — est plus simple que ~ . Les fractions —
ainsi trouvées seront dites valeurs de meilleure approximation, par défaut, pour s,
2° Parmi les fractions supérieures à s trouver etc. Les fractions ainsi trouvées seront dites valeurs de meilleure approximation, par excès, pour 5.
D'abord, on peut former ces suites directement de la façon suivante. Soit par exemple s = /â.
Parmi toutes les fractions de dénominateur i, celle qui approche
le plus de /à par défaut est -. C'est évidemment une des fraclions cherchées.
Parmi toutes les fractions de dénominateur 2, celle qui approche
le plus de ^2 par défaut est -. Mais - = - qui a déjà été considérée.
Parmi toutes les fractions de dénominateur 3, celle qui approche
le plus de /a par défaut est =*. Or ^ approche plus de v/2 que . Donc V. est une des fractions cherchées.
Et ainsi de suite ; considérant successivement les dénominateurs k, 5, ... on cherchera parmi toutes les fractions de dénominateur k celle qui approche le plus de sfï par défaut. Si la fraction ainsi obtenue approche plus de /a que toutes celles déjà trouvées elle fait partie de la suite de meilleure approximation par défaut. Sinon, non.
On obtient ainsi la suite
On trouverait de même la suite de meilleure approximation par excès pour /a à savoir :
Cas où le nombre s est rationnel. — Si l'on s'en tient à la définition donnée plus haut les doux suites de meilleure approximation ' pour un nombre rationnel sont illimitées. Car ces suites ne devant contenir, la première que des nombres injérieurs à s, et la seconde
que des nombres supérieurs le nombre * lui-même en est exclu.
Ainsi pour s
et
Mais si l'on modifie la définition et si l'on admet dans la première suite les nombres inférieurs ou égaux à s, et dans la seconde les nombres supérieurs ou égaux à s, les deux suites sont limitées et se terminent à s. Elles sont alors :
et
