Nous allons maintenant donner d'autres façons de for
^ les
suites sont
ii5 26'
mer les suites précédentes. La comparaison des procédés nous fournira des résultats intéressants.
Formation des suites de meilleure approximation par les développements en fractions contenuelles par déjaut et par excès.
Lemme. — Lorsqu'une suite de Jractions à dénominateurs posiiijs
est telle que l'on ait
rii > ni,
mirii
pour toute valeur de i ; si de plus no= i
1° cette suite converge vers un nombre s ;
2" cette suite est la suite de meilleure approximatioi par défaut pour le nombre s.
1° On a
Donc
n, I i./ii /i,n2 «i-i't;
Or, à cause de n, >• /!;! et «o = i on a n» > i -^- i. Donc — va en croissant avec i tout en restant plus petit que
mj H- --„ + —: + ...
Donc — ' tend vers une limite s.
ni
D'ailleurs
mo < s < mo -4- I .
Donc — est la valeur approchée de s à une unité près p ir défaut.
Cahen. — Théorie des nombres, t. II. 28
43/i THÉORIE IHSS NOMBr.ES '
•2" Soit- une fraction plus approchée, par défaut, de s que
— ' ; je dis que n >■ ni. En effet, d'abord, si - appartient à la
suite (2), puisqu'elle est plus approchée de s que — c'est qu'elle
est plus loin que — ' dans la suite, donc n > rii. Ensuite, si la frac-
tion — n'appartient pas à la suite (2) elle tombe entre deux termes^
consécutifs de cette suite dont le premier est — ou un terme suivant :
mj m mj^
Mais ^ et ^^^iti sont conjointes. Donc n > tij > iii.
Il en résulte que — est une valeur de meilleure approximation par défaut pour s.
Réciproquement soit — une valeur de meilleure approximation par défaut pour 5, je dis qu'elle est dans la suite (2).
D'abord - >• — car — est à la valeur de 5 à une unité près par
défaut. Ensuite si la fraction — n'était pas dans la suite (2) elle serait comprise entre deux termes de cette suite :
d'où
Il y aurait donc une fraction -J-^, plus simple que — et plus
approchée qu'elle de s, ce qui est contre l'hypothèse. Donc — est dans la suite (2).
Remarque. — Si une suite de fractions satisfaisait aux conditions de l'énoncé précédent sauf à la condition no= i, elle serait
la suite de meilleure approximation par défaut, de s, privée de quelques-uns de ses premiers termes.
De même : Lorsquane suiie de J raclions à dénominateurs posi- Ufs
est telle que ton ait
miiii
mi ni
-1 — "'i jn, = — I
pour toute valeur de /", si de plus n^ = i
1° cette suite converge vers un nombre s ;
2° cette suite est la suite de meilleure approximation par exc^s pour le nombre s.
Si une suite satisfait aux conditions précédentes sauf à la condition Aïo = I elle est la suite de meilleure approximation par excès de s privée de quelques-uns de ses premiers termes.
Corollaire. — Etant donné un nombre s considérons son développement en fraction continuelle par excès (n" 217). La suite des réduites de ce développement satisfait aux conditions du premier des lemmes précédents, donc c'est la suite de meilleure approximation par défaut. De même la suite des réduites du développement en fraction continuelle par excès (n" 221) constitue la suite de meilleure approximation par défaut.
Exemple. — Soit 5 = v/a ; on a pour le développement par défaut
dont les réduites sont
c'est la suite de meilleure approximation par défaut ; et pour le développement par excès
dont les rSduites sont
c'est la suite de meilleure approximation par excès; ce sont bien les suites déjà trouvées au n° 233.
Dans le cas où le nombre donné est rationnel on a vu (n" 220) que les développements par défaut et par excès peuvent être dirigés de façon à être limités ou illimités. On obtient ainsi soit les suites limitées, soit les suites illimitées du n° 233.
235. Formation des suites de meilleure approximation par le développement en fraction continuelle ordinaire.
Mais les deux suites de meilleure approximation peuvent aussi se retrouver en partant du développement en fraction continuelle ordinaire.
Considérons la suite des réduites d'indices pairs du développement d'un nombre s en fraction continuelle ordinaire. Cette suite jouit des propriétés de la suite (2) sauf que l'on n'a pas eri général
P2nQ2n— 2 — I in- iQin •■= ï
mais bien
PinQin—'î PîH— 2Q2n = Qs-i»
On voit que si tous les a2,i sont égaux à i, la suite des réduites d'indices pairs coïncide avec la suite de meilleure approximation par défaut.
Mais supposons maintenant qu'il n'en soit pas ainsi et soit
«24;2fl.
On a
Qik ClilcQ-îk-l -+- Qik-i
Considérons l'expression
^-^2)1.— 1 + Pgfe— 2
et faisons-y successivement ). = o, i, 2, ... OgA-
Pour les valeurs extrêmes X = o, 1 =^ au on trouve respectivement
P"-2 gj Ps^,
Pour les valeurs intermédiaires i, 2, ... a/t — i on trouvera ttk — 1 fractions intermédiaires.
La suite formée en adjoignant à la suite des réduites d'indices pairs les fractions intermédiaires est identique à la suite de meilleure approximation par défaut. Car on voit immédiatement qu'elle jouit de toutes les propriétés caractéristiques de la suite (2).
Corollaire. — On a ainsi le moyen de déduire le développement par défaut du développement ordinaire.
Réciproquement cherchons à déduire le développement ordinaire du développement par défaut. Pour cela nous allons supprimer du développement par défaut les réduites qui sont des fractions intermédiaires. Or d'après la loi de formation de ces dernières on voit que, dans la suite (2), le dénominateur d' une fraction intermédiaire est moyen arithmétique entre les dénominateurs des fractions précédente et suivante, tandis que cette propriété n'appartient pas aux fractions non intermédiaires.
On formera donc ainsi la suite des réduites d'indices pairs du développement ordinaire. On en déduira les éléments d'indices pairs par les formules :
O2A = PihQih-2 — P2/1-2Q2/1
puis ceux d'indices impairs par les formules :
O-ih+i —
Q2a(P2A+2 P2/1) Oih+ijPih — Paft— 2)
Tout ce que nous venons dire sur la suite de meilleure approximation par défaut et les réduites d'ordre pair du développement ordinaire s'applique, avec les modifications convenables, à la suite de meilleure approximation par excès et les réduites d'ordre impair du développement impair. Seulement il faut faire commencer la
suite des réduites d'ordre impair à ^^ =-, de façon qu'en
intercalant des fractions intermédiaires entre celle-ci et
P , apOi -+- i Q, a,
la première intercalée soit — •
THEOniE DES NOMBRES
Exemple. — Soit le développement en fraction continuelle ordinaire
dont les réduites sont
lO
on forme facilement la suite de meilleure approximation par défaut I 4 7 10 53 96 189 182 22b
I 3 5 7 37 67 d'où le développement par défaut
et la suite de meilleure approximation par excès.
d'où le développement par excès
Nous laissons au lecteur le soin de trouver les lois de ces deux développements.
236, — Par le procédé précédent les suites de meilleure approximation se trouvent partagées en groupes de termes qui sont, dans l'exemple précédent
Nous donnons aux groupes qui forment la suite par défaut les indices o, 2, 4, ••• et à ceux qui forment la suite par excès les indices i, 3, 5, ...
SUITES DE MEILLEURE ÀPPnOXIMATlO.N 439
On voit que le groupe d'indice / contient at termes et que son
dernier terme est la réduite ~ du développement en fraction con-
«tinuelle ordinaire.
D'après la façon dont les fractions intermédiaires ont été formées
on voit que dans le groupe qui commence après ^p-^ et qui va
jusqu'à 7y^' inclus les numérateurs forment une progression
arithmétique de raison Pi et les dénominateurs une progression arithmétique de raison Q,. Ainsi : dans un groupe d'indice quelconque les numérateurs successifs Jorment une progression arithmétique dont la raison est le numérateur du dernier terme du groupe dont l'indice est inférieur d'une unité. La même loi s'applique aux dénominateurs,
237. — La propriété précédente permet de reconstituer les •suites de meilleure approximation par un nouveau procédé.
Donnons d'abord la définition suivante : On appelle médiante de
•deux fractions 7 » r? la fraction . . , •
Ceci posé on voit facilement la règle suivante : Ayant formé le groupe d'indice i — 1 , relatif à un nombre a pour former le groupe d'indice i on forme la médiante entre la dernière fraction du groupe d'indice i — 2 et la dernière du groupe d'indice i — 1 , puis la médiante entre la fraction trouvée et la dernière du groupe d'indice / — i et ainsi de suite, en prenant toujours la médiante entre la dernière fraction formée et la dernière du groupe d'indice i — i, jusqu'à ce qu'on obtienne une fraction qui soit, par rapport à a, approchée dans un sens différent des précédentes. Cette fraction est alors la première du groupe d'indice ./h- i .
Remarquons que le premier groupe, celui d'indice zéro, peut s'obtenir de la même façon en partant des deux groupes d'indice
— 2 et — I formés, le premier de la fraction - , le second de la
fraction -.
Exemple. — Soit à former les suites de meilleure approximation
Mxo
THEORIE DES NOMBUES
pour le nombre e. On part des deux fractions - » - et on écrit en rangeant les nombres par ordre de grandeur
Entre -, et - on intercale la médiante -, on la compare à e, elle est plus petite, on écrit
Entre - et - on intercale la médiante - ; elle est encore plus petite 1 o I ' r r
que e et l'on écrit :
m miercaie la médiante que e et l'on écrit
Entre - et - on intercale la médiante - , celle-ci est plus grande 1 o 1 r o
Entre - et - on intercale la médiante -, elle est plus petite que e
et l'on écrit
Alors on intercale une médiante entre - et - et ainsi de suite en
intercalant toujours la médiante dans l'intervalle qui contient e. Au bout de onze opérations par exemple, on arrive à
G j 2 5 8 T9 87 68 A9 3o Ti 3 !
Les deux suites ainsi formées sont les suites de meilleure approximation et l'on a formé les groupes d'indices o, i, ... 5.
237. Démonstration directe. — Au lieu de faire dépendre le résultat précédent du développement en fraction continuelle on
peut le démontrer directement. On démontre d'abord, ce qui est facile, que :
1° La médiante de deux J raclions à dénominateurs positifs à une valeur comprise entre celles de ces deux Jr actions.
2° Si deux Jractions sont conjointes leur médiante est conjointe à chacune délies.
Ceci démontré, il devient évident que les suites formées par le procédé du n° 236 jouissent des propriétés énoncées dans les lemmes du n°234.Donc elles sont des suites de meilleure approximation chacune pour le nombre vers lequel elles convergent. Reste à démontrer qu'elles convergent toutes les deux vers'e. Comme tous les termes de la première suite sont plus petits que <?, et tous ceux de la seconde plus grands, il sufBt de montrer que la différence entre deux termes comprenant e tend vers zéro. En appelant
T> p ces deux termes, comme ils sont conjoints leur différence
est rr/ qui tend vers zéro.
Remarque I. — Lorsqu'on obtient la suite de meilleure approximation par dé(aut au moyen du développement en fraction continuelle par défaut le groupe d'indice zéro ne s'y trouve pas en entier, mais seulement son dernier terme. Soit par exemple un nombre s compris entre /j et 5. Le groupe d'indice zéro est formé des fractions -, -, - . -, tandis que le développement est
On peut modifier ce développement de façon à retrouver tous les termes du groupe d'indice zéro. Il suffit d'écrire :
Remarque IL — Si le nombre à développer est rationnel soit ^ il arrive un moment où la médiante que l'on intercale est
justement -, . Car sinon ^ serait toujours compris entre deux termes
consécutifs r et n de la suite, et comme ces termes sout conjoints
44^ TIIROIVIB ÙIS SOMDKBS
-on aurait d ^ b et d > b' [n° 232) ce qui est impossible puisque
b et b' croissent indéfiniment.
Au moment où ce résultat est obtenu, cm peut continuer à inter-
<;aler des médiantes de chaque côté àe t. On obtient alors deux
suites infinies comme au n** 233.
238. — La condition pour qu'une fraction donnée appartienne à la suite par excès d'un nombre donné s a été donnée au n" 219. La condition pour qu'une fraction appartienne à la suite par défaut
-est la même.
La relation entre les suites de meilleure approximation pour deux nombres équivalents a été donnée au n° 222. Elle consiste en ce que les suites de meilleure approximation de
— — — (a, 3, Y. 8, entiers, a5 — ^y = — 0
■se déduisent de celles de s à partir d'un certain rang en effectuant
sur les termes de ces dernières la substitution y Ç | . Si ««? — l^V = i
les suites par excès se correspondent ainsi que les suites par défaut ; si aâ — ^7 = — i> 1^ suite par excès de l'un des nombres correspond à la suite par défaut de l'autre, et inversement. La répartition des termes en groupes est la même pour les deux nombres (à partir du rang pour lequel la première propriété est vérifiée).
239. Relations entre les suites de meilleure approximation et les développements en fractions continuelles régulières (^).
Nous avons montré (n^' 234 et 235) comment on peut, dans les suites de meilleure approximation, retrouver les réduites du développement en fraction continuelle ordinaire, celles du développement par excès et celles du développement par défaut. On peut, de même, y retrouver les réduites d'un développement en fraction continuelle régulière quelconque.
Soit un tel développement
<3) s = ao H- -^ -^
{^)Vahlen J. r. a. M. t ii5 (iSgS) p. 226.
SLITES DE MEILLEURE APPROXLMATION 443
Le nombre s est compris entre a^ et Aq H- 2,. Le procédé du
11° 236 nous donne donc -" et ~ ' comme valeurs de meilleure
approximation pour s.
Ensuite s est compris entre
a„ -h -i et Oq -\ —
(ai + c2 n'est pas nul, puisque si a, = i, £2 est positif).
Or, si entre — et -^- ' nous intercalons une médiante ce sera
— ou ÛA -4- - . Si s est compris entre a„ -h - et a» + -^ , c'est
<jae le couple d'entiers ai, ai 4- 62 est identique au couple i, 2.
Sinon, il faut encore intercaler une médiante entre —^ — — ' et
-a» OQn — f- El ^1 o- • ^1
— , ce sera — y^ — ou Oq 4- J. 01 5 est compris entre a^ -\ — et
<ïo H- ^» c'est que le couple d'entiers ai, ai + ^z est identique au
couple 2, 3, et ainsi de suite. Donc par le procédé du n" 236 on
«st amené aux deux fractions Oq H — ^ et an H 7 — comme com-
° a, " Oi -h £2
prenant le nombre 5 et faisant partie l'un de la suite de meilleure approximation par défaut et l'autre de la suite de meilleure approximation par excès. Le raisonnement se continue de la même façon.
P On voit ainsi que : La réduite py du développement (3) est le
dernier terme du groupe d'indice o dans les suites de meilleure approximation si ^^ = i, cest le premier terme du groupe i
si Cl = — I. Supposons que ry-^ appartienne au groupe d'in-
dice k\ si £„+! = — 1 le terme qui suit 7^=^ {^) sera 7^"; si
Vn— 1 Vn
Pn
£n+i = 1 , avec an ^ ï ou avec an ==£,.= i , ^p sera le der-
(^) Nous entendons par là le terme qui est à droite de q^ si q^ est par défaut
• Pn
le terme qui est à gauche si ^y est par excès.
nier terme du groupe (F indice A- -{- i ; enjin si £„+i = i avec a„== i
et zn = — I , ?=v" ^^^^ ^^ dernier terme de groupe d'indice k — i .
vn
240. Suite de meilleure approximation absolue (^). — La suite de meilleure approximation absolue d'un nombre s, est
la suite de fractions - jouissant de cette propriété que : toute jrac-
tion qui approcne de s plus que - est moins simple que — , sans distinction entre les valeurs par défaut et celles par excès. Comme il est bien évident que les termes de cette suite doivent être cherchés dans les suites par défaut et par excès on a la règle suivante :
On range l'ensemble des termes de ces deux suites suivant l'ordre de grandeur croissante de leurs dénominateurs, et l'on sjipprime toute fraction qui est moins approchée que les précédente.
Exemple. — Soit le nombre a du n° 235. On a formé la suite par défaut et la suite par excès. Prenons dans ces deux suites les fractions de dénominateur i, celle qui approche le plus de a
est -; elle fait partie de la suite cherchée tandis que - n'en fait pas
