partie. Cherchons parmi les fractions autre que celles-ci celle dont

3 3 le dénominateur est le plus petit. C'est -.Or - approche plus de a

que - , donc - fait partie de la suite cherchée. Parmi les fractions

autres que les précédentes celle dont le dénominateur est le plus

petit est ^. Mais ô approche moins de a que -. Donc ^ ne fait pas

partie de la suite cherchchée, etc. En continuant ainsi on 'trouve qu'il faut supprimer le premier terme du groupe d'indice 2, le premier du groupe d'indice 3, les deux premiers du groupe d'indice 4, les deux premiers du groupe d'indice 5, etc.

Il ,est facile de donner une règle indiquant quels sont les termes

à supprimer. Soient respectivement -çy~' et -p- les derniers termes

des groupes d'indices k — i et k. Les termes du groupe d'indice k + 1 sont :

(*) C. R. Ac. Se P.

P , . . . Pi

TV"^ est la réduite d'indice k — i et 7^^ la réduite d'indice A: du

Vfc-l Slk

développement de s en fraction continulle ordinaire, a^ est le

quotient incomplet d'indice k du même développement.

Tous ces termes du groupe d indice A' 4- i sont plus approchés p de s query^, il n'y a qu'à supprimer ceux qui sont moins appro-

chés que ry c'est-à-dire qui sont tels que

Pa-1 -h > P.

ce qui s'écrit

Qa(Q.

«^^1 étant le quotient complet qui suit ^ ou enfin :

QÂ

Le nombre n des termes à supprimer est donc déterminé par la

double inégalité

Sk+i —

Sk-\ 1 —

Remarque I. — On a

Oft+i < Sa+1 < a^+i -h I

Donc

Qa+i -h ï

446 THEOBIE DES NOMBRES

Donc si

a,c+i est pair, n = -^±-' ou -^i^ — i suivant les cas si

Ov+i est impair, n = -^^^ti .

Remarque II. — En comparant cette règle avec celle du n*" 239> on voit qu'en général la suite des valeurs de meilleure approximation absolue n'est pas donnée par un développement en fraction continuelle régulière.

241. — Reprenons les suites formées au n° 236 à savoir, pour le nombre e :

Chacune se déduit de la précédente en Intercalant une médiante dans un certain intervalle. Cet intervalle est toujours adjacent au dernier terme qu'on avait intercalé auparavant. Laissons cette condition de côté et procédons de la façon plus générale suivante : On part de deux fractions conjointes quelconques ; entre ces deux fractions on intercale une médiante; dans l'un quelconque des deux intervalles formés on intercale une médiante ; dans l'un quelconque des trois intervalles formés on intercale une médiante et ainsi de suite. La suite obtenue à un moment q lelconque de cette opération jouit des propriétés suivantes ;

i** Les fractions y sont rangées par ordre de grandeur puisque la valeur d'une médiante est toujours intermédiaire entre les valeurs des deux fractions entre lesquelles on l'intercale.

a'^ Deux fractions consécutives dans une suite sont conjointes^ Méjà démontré (n° 237).

Sl'lTES DE FAftEY 4^7

3' Chacune de ces fractions est égale à la médiante des deux qui la comprennent (mais non forcément identique). Soit à un moment donné la suite :

On intercale une médiante entre -7 et -. et l'on obtient :

V d' d-\-J' J' l Il faut montrer que ^ est égale à la médiante de ^ et % 7, et

que ^est égale à celle de . .et V . c'est-à-dire que :

ou :

hc — ad = de — cj = fg — eh

Or ces trois quantités sont égales à i.

242. Suites de Farey ('). — En particulier partons de la suite:

et déduisons la n'^™® suite de la {n — lyème ^^^ /^ règle suivante : On intercale des médiantes dans les intervalles où la somme des dénominateurs est égale à n. Les suites obtenues seront dites suites^ de Farey. Ce sont :

(i) J. Faret, Phil. mag. and Journ., 47 (1816), p. 385 ; Bull. Soc. philom., (3;, t. 3 (1816), p. lia (sans démonstration).

A. L. Cauchy, Bull. Soc. philom., (3), t. 3 (1816;, p. i33; Exerc. malh., t. I, p. ii4 ; Œuvres, ("i], 6, p. iliQ.

Nous allons démontrer que la n"""* suite de Farey est formée de toutes les fractions irréductibles comprises entre o et i et de dénominateur non supérieur à n.

Il est évident que la n*"' suite de Farey est composée de telles fractions. Il n'y a qu'à' démontrer que ces fractions y sont toutes. C'est vrai pour la première suite ; nous allons démontrer que si c'est vrai pour la (n — i^em" c'est vrai pour la n""".

Comme la n*""" suite contient toutes les fractions que contient la {n — i)""", elle contient toutes les fractions irréductibles comprises entre o et i et de dénominateurs plus petits que n, il suffit donc de démontrer qu'elle contient celles de dénominateur égal à n.

Soit - une telle fraction, n

Soient j et p ^^^ deux termes consécutifs de la (n — i'/"* suite

qui comprennent entre eux - . On a

Or on

d'où, en se rappelant que . et -p sont conjoints :

1 ak — nh nh' — ak'

Jd? ~ nk ' /i/?

ou :

Al = (ak — nh)k' H- {nli — ak')k.

Dans cette égalité les quantités ak — nh et nh' — ak' sont des entiers positifs. Donc :

Mais si l'on avait k -+- k' < n, la médiante entre r et 7-, à savoir

r A appartiendrait à la (n — i)^"^ suite, ce qui n'est pas. Donc :

>OTES ET EXERCICES ^^9

et les entiers positifs ak — nh et nh! — ah' sont tous deux égaux à I. Leur différence a{k H- U) — n{h H- K) est donc nulle. On

en tire que h -h h' = a. Donc - est la médiante entre r et 7-7 et

par suite se trouve dans la n*"' suite.

On voit que dans la suite de Farey : i<* deux Jraclions consécutives sont conjointes ; 2° une fraction quelconque est égale à la médiante des deux qui la comprennent.

I. — Trouver les suites de meilleure approximation jusqu'au groupe d'ordre 5 pour le nombre 0,2/422.

Ce nombre est l'excès de l'année tropique, exprimée en jours, sur 365 .

Parmi les termes des suites demandées on remarquera j avec erreur par excès égale à 0,0078 qui correspond au calendrier Julien ; 00 avec une erreur par excès plus petite que 0,00028 qui correspond

au calendrier Persan. La valeur ^ qui correspond au calendrier

Grégorien est moins approchée que la précédente (erreur égale o,ooo3). Elle n'est donc pas dans les suites de meilleure approximation.

II. — Donner la règle pour retrouver dans les suites de meilleure approximation les réduites du développement court.

III. — Toute fraction de meilleure approximation absolue pour s est une valeur principale.

IV. — Si l'on considère deux fractions qui, dans la suite des opérations par le procédé de Farey, se trouvent à un certain moment voisines et comprennent s, celle qui a le plus petit dénominateur est principale, et il y en a au moins une des deux qui est principale singulière. (Vahlen, J. r. a. M., t. ii5 (1895) p. 221).

Caheh. — Théorie des nombres, t. II. 29