REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE POUR LE GROUPE MODULAIRE
Ces lignes entourent une portion du plan, CAA' (G à l'infini dans la direction Oy). Les points réduits sont les points à l'intérieur de cette portion du plan, ou bien sur la partie de sa frontière qui est à gauche de Oj, le point I compris, le point C non compris. L'ensemble des points réduits s'appellera domaine fondamental. Les points A et A' sont dits sommets de ce domaine, le point C en
€st la pointe ('). Les angles CAA' et CA'A sont égaux à ^', l'angle
ACA' est égal à zéro. Des trois côtés du domaine fondamental les deux côtés CA et GA' opposés aux sommets, s'appelleront plus particulièrement les côtés ; le côté AA' opposé à la pointe s'appellera la base.
Fig.
On vient donc de voir que tout point du plan est de même classe qu'un point et un seul du domaine fondamental. En particulier : dans le domaine fondamental, il n'y a pas deux points qui soient de même classe.
De plus, en général, un point du domaine fondamental ne se transforme en lui-même que par la substitution identique. Il y a exception pour le point I affixe de i, pour le point A affixe de
^ + ' ^ et enfin pour le point G, affixe de z = ce qui se
(1) Ces dénominations utiles sont dues à M, G. Hurabert C. R. A. S. t. i6i
iiSa THÉORIE DES NOMBRES
transforme en lui-même par toutes les substitutions modulaires
Ces énoncés sont les traductions géométriques des résultats du n« 164.
244. — Considérons une substitution modulaire 1. Cette substitution transforme un point quelconque du domaine fondamental en un autre et par conséquent transforme tout le domaine fondamental en un autre Dj.. Voyons ce que l'on peut dire de Dv- Pour cela nous ferons usage du théorème suivant relatif à la transformation homographique la plus générale.
Dans la transformation homographique {^) consistant à remplacer
un point z par le pointa— —^ (a, |S, y, â, nombres quelconques,
réels ou imaginaires^ ol^ — |5y ;zf o).
\° Un cercle se iransjorme en un cercle ;
2° L'angle sous lequel se coupent deux courbes en un point M est égal à celui sous lequel se coupent les courbes transformées au point transjormé de M. Autrement dit : la transformation conserve les angles.
En effet, la substitution z
4 est le produit des suivantes :
La première est une translation ; la seconde est une inversion de pôle 0 suivie d'une symétrie par rapport à Ox ; la troisième est une homothétie de pôle 0 suivie d'une rotation autour de 0 ; la dernière une translation. Or :
1° Chacune de ces transformations transforme un cercle en un cercle, il est donc de même de leur produit ;
2° Parmi ces transformations, les translations, l'homolhétie et
(^) On appelle souvent transformation homographique la transformation qui remplace un point de coordonnée x, y par le point de coordonnées
„ axM-6x + c Y àx -\- h'y ■+■ c
ax + b'y ■+■ c" ax -\- b"y + c"
Ici le mot est employé dans un autre sens.
REPRESENTATION GEOMETRIQUE POUR LE GROUPE MODULAIRE LiOÔ
la rotation conservent les angles. Quand à l'inversion et à la symétrie elles les changent de signe. Donc leur produit conserve les angles.
Dans le cas particulier où a, |3, y, & sont réels, Oxse transforme en lui-même. Il résulte de là et de la conservation des angles que tout cercle ayant son centre sur Ox (et par conséquent coupant Ox orthogonalement) se transforme en un cercle ayant aussi son centre sur Ox. Dans des cas particuliers ces cercles peuvent devenir des droites perpendiculaires à Ox. On voit de plus facilement que si ac? — /By >► o, les demi- cercles au-dessus de Ox se correspondent, si ao^ — jSy < o un demi-cercle au-dessus de Ox se transforme en un demi-cercle au-dessous.
Revenons aux domaines Dv dont il a été parlé plus haut. On voit d'abord qu'un tel domaine est borné, comme D, par trois arcs de cercle orthogonaux à Ox, et situés au-dessus de Ox. Ces arcs de cercle se coupent deux à deux en trois points. En deux d'entre eux, correspondant à A et A', les angles formés sont
égaux à ^ , ces points sont les sommets du domaine Dv- Le troisième correspond à G, c'est la pointe d^ domaine D^. L'angle formé en ce point est nul. La pointe du domaine Dj, ( v = (<*^\ \
est le point z =- . Il est donc sur Ox si y ;zf o, et à l'infini si
Le domaine Dg correspondant à la substitution S = z | 2 -h i
s'obtient en donnant à D une translation parallèle à Ox et égale à I.
Le domaine Dg,» s'obtient en donnant à D une translation parallèle à Ox et égale à m.
Le domaine Dt correspondant à la substitution T = z
s'obtient en faisant sur D une inversion par rapport au cercle de centre 0 et de rayon i, suivie d'une symétrie par rapport à Oy. Le sommet A se transforme en A', le sommet A' en A, la pointe G se transforme en 0. L'arc A'IA se transforme en lui-même. Le côté A'G se transforme en un arc AO qui est le prolongement de la base du domaine Dg. De même AG se transforme en A'O symétrique du précédent par rapport à Oy.
Finalement, le domaine Dt est le triangle curviligne OAA', y compris les arcs lA et AO, le point I compris, le point 0 non compris.
L'ensemble des domaines Dv couvre le demi-plan au-dessus de Ox sans doublure et sans lacune, c'est-à-dire que tout point du plan : i° appartient à un domaine ; 1° appartient à un seul, sauf quelques points des frontières. En effet : 1° tout point du plan est proprement équivalent à un point du domaine réduit, il s'en déduit par une substitution 1, dont il appartient au domaine Dj.; 2° s'il appartient à deux domaines Dv, D^, c'est qu'il se déduik de deux points M, M' du domaine D par des substitutions 1, 1'. Mais dans D il n'y a pas deux points équivalents. Donc M et M' coïncident. Alors M se transforme en lui-même par la substitution non identique i~*^'. Donc M est l'un des trois points A, I, C.
245. Formation des domaines Dv par symétries successives, — Nous allons étendre le sens ordinaire du mot symétrie. Nous dirons que deux points M, M' sont symétriques par rapport à un cercle de centre 0 et de rayon R lorsque 0, M, M' sont en ligne droite et que OM . OM' = R^. L'un de ces points est nécessairement à l'intérieur et l'autre à l'extérieur du cercle.
Théorème. L — Si deux points M et M' sont symétriques par rapport à un cercle C tout cercle T passant par M et M' est orthogonale G.
n. — Si deux points M et M' sont tels que deux cercles T et F' passant par ces points sont orthogonaux à un cercle G.
1" M etM' sont symétriques par rapport à G.
2" Tout cercle passant par M et M' est orthogonal à G.
En effet, 1° De OM . OM' = R^ on déduit que 0 est en dehors du segment MM'. On peut donc mener de 0 une tangente ON au cercle F. On aura
on' = OM . OM' = R2.
Donc ON = R par suite N est sur le cercle G, etc.
II. — Soit N un point commun à F et G, N' un point commun à F' et à G'. Menons la tangente en N à F et la tangente en N' à F', elles se coupent au centre 0 de G. Alors ON = ON'. Donc
