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Donc M et M' sont symétriques par rapport à G, etc.

Pour justifier l'emploi du mot « symétrique » dans ce qui précède, il faut montrer que si le centre G devient une droitre la symétrie par rapport à G devient la symétrie ordinaire par rapport à cette droite. Or cela résulte du théorème I, car si deux points M et M' sont tels que tout cercle passant ces points est orthogonal à une droite D, il en résulte évidemment que ces points sont symétriques, au sens ordinaire, par rapport à celte droite.

Théorème. — Soient deux points M et M' symétriques par rapport à un cercle G, cette propriété se conserve par une transformation homographique.

En effet la propriété que tous les cercles passant par les deux points M et M' coupent orthogonalement le cercle G se conserve par une transformation homographique.

Nous pouvons maintenant former les domaines D^ par symétries successives en partant du domaine fondamental D,. On constate d'abord que les trois domaines adjacents à D,, à savoir Dg, Dg, et Dj sont les symétriques de D, par rapport à ses trois côtés. Si nous transformons ceci par une substitution 2! nous voyons que les trois domaines adjacents à D^ sont Dgv, Ds-is ®' Djv, et qu'ils sont les symétriques de Dj. par rapport à ses trois côtés. Alors, pour construire la figure i, il suffit, après avoir construit les trois domaines symétriques de D, successivement par rapport à ses trois côtés, de refaire la même construction pour ces trois nouveaux domaines, et ainsi de suite.

Il faut remarquer que tout point de Ox d'abscisse rationnelle

- i- irréductible! est la pointe d'une infinité de domaines, à savoir tous les domaines Dv où ^ = ( ^ H. Mais les points de

Ox d'abscisses irrationnelles n'appartiennent pas à la figure. Il y a là un fait qu'il est impossible de représenter géométriquement. Un certain nombre de résultats donnés précédemment deviennent immédiatement visibles sur la figure i. D'abord, puisque tout domaine se déduit du domaine D, par une suite de symétries qui

équivalent à l'une des substitutions S, S~' et T, on en déduit que S etT sont des substitutions fondamentales du groupe (no 165).

Si l'on tourne autour du point A, dans les environs de ce point, en partant du domaine D, on y revient après avoir traversé six domaines dont chacun se déduit du précédent alternativement par la substitution S et par la substitution T. On obtient ainsi la relation {STy = I (n° 165).

Cherchons les nombres réduits ayant des substitutions automorphes autres que la substitution identique. Un tel nombre doit appartenir à la fois a D et à un autre domaine. II est donc sur la frontière de D. En examinant les choses de plus près on voit facilement qu'on trouve le point z = i qui se transforme en lui-même

par la substitution T, le point z = ^ ~^ ^ - qui se transforme en

lui-même par deux substitutions ST et (ST)^ (n° 164) et enfin le point 00 qui se transforme en lui-même par les substitutions S"*.

Considérons la réduction des nombres réels ('). Les affixes des nombres réels non rationnels n'appartiennent pas à la figure. Mais considérons un couple de nombres réels w, w', les affixes correspondantes A, A' et le demi-cercle décrit au-dessus de AA' pris comme diamètre. La connaissance de w, o/ entraine celle de ce demi-cercle et réciproquement. Or le demi-cercle appartient à la figure, sauf ses points A et A'. On a ainsi un moyen d'appliquer non aux " nombres réels mais aux couples de nombres réels les considérations géométriques précédentes.

On dira qu'un couple w, w' est réduit quand le demi-cercle correspondant à ce couple traverse le domaine fondamental. La forme {a, b. c) est dite Yédaite quand ses deux racines Jorment un couple réduit.

Cette définition s'applique. aux couples de nombres quelconques et, par conséquent, aux formes (a, 6, c) à coefficients quelconques, rationnels ou non.

II est facile de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme [a, b, c) soit réduite. Il n'y a qu'à exprimer que l'un au moins des sommets A, A', du domaine fondamental

(') F. Kleim, Vorl. ub. d. Theor. d. elUptischen Modalfunclionen. Leipzig Teubner 1890, p. aSo.