RÉDUCTION DES COUPLES DE NOMBRES REELS
est à l'intérieur du cercle relatif à la forme, le point A' au sens large du mot, le point A au sens e</'o<7 ('). On trouve ainsi que Pane au moins des deux conditions suivantes doit être remplie : «(2a -f- 6 H- 2c) < o a(2a — b -+- 2c) <^ o
En fonction des racines ces conditions deviennent :
2 — (10 -!- 0)') H- 2ww' <C o 2 -h (to -h to') -h aww' <^ o
Pour obtenir toutes les substitutions qui réduisent un couple de nombre ou une forme, on prend tous les domaines Dv que traverse le demi-cercle correspondant, les substitutions 1 sont les subtitutions demandées.
On en obtient ainsi une infinité. En prenant les domaines D^ dans l'ordre où les traverse successivement le demi-cercle, ces substitutions sont rangées en une suite. A cette suite de substitutions correspond une suite de couples de nombres réduits ou de formes réduites. Ayant l'un de ces couples ou l'une de ces formes, il est facile de former la suite.
Soit la forme représentée par le demi-cercle Y traversant Dv puis D^' etc.
L'arc MP de ce demi-cercle situé dans le domaine D^^ correspond à un arc M^P,, situé dans le domaine fondamental ; l'arc PQ situé dans Dj,, correspond à un arc P'oQ'o du domaine fondamental, etc.
Donc on passe d'une forme réduite à la suivante par l'une des substitutions qui transforment le domaine fondamental en un domaine adjacent, c'est-à-dire par l'une des substitutions S, S~^ ou T.
On peut former ainsi une chaîne (^) de substitutions et en général une chaîne de formes réduites, indéfinie dans les deux sens.
Mais quand le couple de nombres est forçtié de deux nombres
quadratiques, ou ce qui est la même chose quand la forme est à
coefficients commensurables entre eux, cette infinité de substitutions
ne donne qu'un nombre limité de formes ou de couples réduits.
En effet, d'aboM on peut supposer a, b, c entiers. Ensuite le
rayon du cercle correspondant à la forme (a, 6, c) est -^ — j •
(*) L'intérieur d'un domaine, au sens étroit du mot, c'est ce domaine, non compris son contour. L'intérieur d'un domaine, au sens large du mot, c'est ce domaine, y compris son contour.
(*) Nous appelons chaîne une suite indéfinie dans les deux sens.
Pour que ce cercle traverse le domaine fondamental, il faiit qufr ce rayon soit plus grand que la distance du sommet A à Ox, c'està-dire que :
âTôl -^ 2
ou
Gomme A est le même pour toutes les formes de même classe, et que a est entier cette inégalité limite le nombre de valeurs de a.
La valeur de a étant choisie, le rayon R du cercle est déterminé, et pour que ce cercle traverse le domaine fondamental il faut que
l'abcisse de son centre, c'est-à-dire , soit compris entre
ce qui limite le nombre des valeurs de b. D'ailleurs quand a et b sont déterminés, c s'ensuit. Il en résulte qu'en parcourant la chaîne des formes réduites on en retrouve une qui a le même demi-cercle que celle dont ou est parti. Elle lui est identique, ou identique mais de signe contraire. Si le deuxième de ces cas se présente, en continuant à parcourir la suite, au bout d'un nombre d'opérations égal on retrouve la forme même dont on était parti.
Pour que deux formes soient de même classe il faut et il suffit qu'elles donnent la même chaîne.
Exemple :
La forme réduite
(i, 1, — 3) dévie
ntpar
la substitu
lion S
(i,3, — )) qui
(i, 1, — 3) dont
on est
parti.
Remarque. — Cette définition des formes réduites ne coïncide pas avec celle du n° 176. En effet les conditions (9) du n° 176 ne sont pas les mêmes que les conditions trouvées plus haut. La définition du n° 176 (ou celle de la note II du chapitre XII pour les couples
RÉDUCTION CONTIM'ELLE d'hERMITE 45^
de nombres) se traduirait géométriquement de la façon suivante : Pour qu'une forme ou un couple de nombre soit réduit il fau* et il suffit que le demi-cercle correspondant soit situé tout entier dans la position du plan comprise entre le cercle x^ -h v^ — x = o et la droite x = — i. A cette définition correspondrait aussi une chaîne qui serait limitée dans le cas des formes à coefficients commensurables entre eux.
2 46. Réduction continuelle d'Hermite. — Hermite a exposé (*) une méthode de réduction qu'il a appelé réduction continuelle. Elle acquiert beaucoup d'importance de ce fait qu'elle ne s'applique pas seulement aux formes binaires quadratiques indéfinies. Pour ces dernières elle est identique à la réduction précédente.
Soit la forme indéfinie
J = (a, h, c) = a{x — wj) {x — w'j).
A côté de cette forme indéfinie considérons la forme définie positive :
ç^ = (rc — coy)^ ■+- X^(x — w'v)^
dans laquelle X est un paramètre que nous ferons varier de o à -h co.
Nous avons ainsi un ensemble de formes définies que nous appellerons attachées à la forme /. En particulier ç^ sera dit attachée à fpour la valeur X du paramètre.
D'après Hermite nous dirons que la forme /est réduite quand, dans l'ensemble des formes définies qui lui sont attachées il y en a de réduites.
La réduction des formes indéfinies est ainsi ramenée à celle des formes définies. Montrons que cette définition des formes réduites revient à celle du n° 245.
Les racines de ç)^ sont : .
ce qui peut s'écrire
o) ± Xio'i
