I -+■ \i -h X^o)' ip X(a) — w
(») J. r. a. M. 4i (i85i),p. 2o3. — Œuvres t. I, Paris (igoS) p. 178.
de sorte que la racine dans laquelle le coefficient de i est positif est
o) H- X^w' H- X I to — a>' I i
Son affixe a pour coordonnées
Or, quand X varie de o à 4- oo on voit sans peine que celte affixe décrit le demi- cercle, allant de o) à oV, au dessus de Oa;. Donc, dire que <p-^ est réduite pour certaines valeurs de X, c'est dire que ce cercle traverse le domaine fondamental. On retombe donc bien sur la définition du n° précédent (').
247 . Réduction en fraction continuelle correspondant à la réduction continuelle d'Hermite. — Considérons une forme quadratique binaire indéfinie /, réduite et le demi-cercle correspondant. Soit MP l'arc de ce demi-cercle qui est dans le domaine fondamental.
Parcourons ce demi-cercle de gauche à droite par exemple, nous sortons du domaine fondamental soit par la frontière GA soit par la frontière A A'.
Supposons que ce soit par G A. Alors la forme suivante/*'* de la chaîne se déduit de la première par la substitution S. Appelons <o la racine de/, que Ton atteindrait en continuant à parcourir le demi-cercle dans le même sens que précédemment jusqu'à ce qu'on atteigne Ox ; c'est donc ici la plus grande racine. A la racine w correspondra pour/*'* une racine w*'* = w — i, d'où
Le demi- cercle de /*'', parcouru dans le sens correspondant au précédent c'est-à-dire aussi de droite à gauche, sort de même du domaine fondamental, soit par la frontière G A soit par la frontière AA'. Supposons que ce soit par GA. Il en résulte une nouvelle forme/**' et une nouvelle racine w*^> = w*'* — i. D'où
{^) C'est M. Lerch qui a remarqué l'identité de la réduction géométrique de Klein avec la réduction continuelle d'Hermite. Voir Encyclopédie des Se. Math., h fasc. 2, p. 119-
FRACTION COISTINUELLE CORRESPONDANT A LA REDDCTION d'hERMITE ^6 I
En poursuivant l'opération on aura un certain nombre de fois à sortir par la frontière GA ; mais cela ne pourra continuer indéfiniment puisqu'à chaque opération le demi-cercle recule de i vers la gauche. Supposons que cela se présente «o fois.
On arrive à une forme /^""^ ayant une racine (J-"*^^ telle que :
Dans l'opération suivante on sortira du domaine fondamental parla base AA' et on obtiendra une forme/', ayant une racine
oV telle que oj' = 7— r . Donc
Si on avait eu à sortir du domaine fondamental par la base dès le début de l'opération, on aurait eu
ce qui n'est qu'un cas particulier de l'égalité précédente ou a^ = o. Arrivé à ce point de l'opération deux cas se présentent, parce que lorsqu'on applique à un cercle orthogonal à Ox la transformation z il arrive que le sens dans lequel est parcouru le
nouveau cercle est le même que celui dans lequel est parcouru le précédent ou le sens contraire, suivant que le premier cercle coupe Ox en^deux points qui sont du même côté de 0 ou non. Dans le premier cas le nouveau cercle quitte encore le domaine fondamental par la frontière CA, cela se présentera ai fois de suite et l'on arrivera à une égalité de la forme :
U) = On —
Dans le second cas le nouveau cercle quitte le domaine fondamental par la frontière GA' et l'on arrivera à une égalité de la forme :
to = a„ —
€t ainsi de suite. On obtient ainsi
On est alors amené à supposer que la fraction continuelle indéfinie
En
ag-h
an -h
■est convergente et représente l'une des deux racines de la forme /.
Nous allons montrer que cela a lieu en effet et que la racine représentée est celle vers laquelle on se dirige dans la première opération.
Pour cela remarquons d'abord que les quantités o)'"* sont toutes plus grande que i. En effet un arc de cercle ayant son centre sur Ox, partant d'un point de AA' et allant à un point de AG ou de \'G et étant prolongé se tient évidemment en dehors du demicercle de centre o et de rayon i. Donc il coupe Ox en un point extérieur au segment — i, + i.
Il en résulte (n" 224) que la fraction continuelle (2) est régulière et convergente, et à cause de l'égalité (i) sa valeur est w.
Si au début de l'opération on avait parcouru le premier demicercle de droite à gauche, on aurait obtenu un développement de l'autre racine.
Dans le cas où la forme est à coefficients entiers ou simplement commensurables entre eux, la suite des substitutions S, T, S~' est périodique dans les deux sens. Donc elle est immédiatement périodique à partir du commencement dans l'un quelconque des sens. En résulte- t-il que les fractions continuelles qui représentent les racines soient immédiatement périodiques ? On voit facilement que, si dans la suite des opérations on retombe sur m après une substitution T, la fraction est immédiatement périodique. Si l'on retombe sur oj après une substitution S ou une substitution S"S la fraction n'est périodique qu'à partir du second élément.
Signification géométrique des réduites. Les réduites du développement précédent sont égales eux abcisses des pointes des domaines que traverse le demi-cercle G. En effet le demi-cercle partant du domaine fondamental passe d'abord, en traversant des côtés, par
FRACTION CONTINDELLE CORRESPONDANT A LA REDUCTION d'hERMITE ^63
<2o domaines dont la pointe est à l'infini, et pénètre, par sa base, dans le domaine correspondant à la substitution
dont la pointe a pour abcisse -4 qui est bien la réduite d'indice zéro
<iu développement. Puis il passe en traversant des côtés par a, domaines qui ont la même pointe que le précédent et entre par sa base, dans le domaine correspondant à la substitution
rti —
dont la pointe a pour abcisse ao qui est bien la réduite d'indice un, etc.
248. !Relation avec le développement en fraction continuelle ordinaire. — Supposons le couple w, oV réduit. Supposons que le nombre o) qu'on veut développer soit le plus grand des deux, et qu'il soit irrationnel : o)^ oV.
Soit :
le développement de w en fraction continuelle ordinaire. Nous posons, comme à l'ordinaire :
Cn 4- I Wn
Cherchons le développement de w en fraction continuelle d'Hermite.
La première opération consiste à reculer le demi-cercle vers la gauche d'une quantité a'o déterminée par cette condition que, dans sa nouvelle position, le demi-cercle coupe encore le domaine fondamental, mais le quitte, à droite, par la base. Alors
Donc a'o est la partie entière de w, ou bien cette partie entière
augmentée de i . On a par suite
a'o = «0 ou a'o = Oo -f- 1 .
Cherchons, d'une façon précise, dans quelles circonstances se présente la seconde hypothèse. Il faut pour cela que
W — Oo > -
d'où
Oi = 1.
Mais cette condition n'est pas suffisante. La condition nécessaire et suffisante, et qui entraîne la précédente, est que le cercle décrit sur le segment w' — Oo, oj — Oq comme diamètre, enveloppe le point A, c'est-à-dire que :
(3) 2 — (w' — Oo -h io — Oo) -+- 2(co' — ao)(w — flo) < o. .
Supposons d'abord que la condition (3) ne soit pas remplie. Alors le premier terme du développement de w en fraction continuelle d'Hermite est ao, après quoi w et w' se trouvent remplacés respectivement par w — Oo qui est positif et w' — Oo qui est négatif. Il faut alors effectuer la substitution T qui remplace co — flo par
— — qui est négatif et w' — ao par — ^, qui est positif,
et l'on aura
tO = Qn —
On est amener à développer
du couple
O) flo w — Oo ^ — ^0
Il suffit pour cela de développer du couple
W Oo w «0 to Oq
c'est-à-dire «, du couple Wi, w'i, et de changer le signe du résultat. On a d'ailleurs
Wi > lo'i.
On est donc bien encore dans le cas supposé au commencement où le nombre qu'on veut développer est le plus grand des deux.
KELATION ENTRE LE DEVELOP. d'hERMITE ET LE DÉVELOP. ORDINAIRE 465
Finalement, dans le cas où la condition (3) nest pas remplie, le commencement du développement de w enjraction d'Hermite est
0) = Oq H
Supposons maintenant que la condition ^3) soit remplie (ce qui entraîne ai = i). Alors Gq = qq H- i, après quoi w et w' se trouvent remplacés par w — Oo — i et w' — ao — i qui sont tous deux négatifs. Il faut ensuite effectuer la substitution T qui
remplace w — ao — i et w' — ao — i par — et
r^^ ^^^ qui sont tous deux positifs. De plus à cause de
« >» w' on a
M Oo I
On aura
w =r Oo H- 1 : : = Oo + l —
W Oo 1 0)2 H- 1
avec «2 > oV. Donc dans le cas où la condition (3) est remplie, le commencement du développement en fraction dHermile est
oj = ofn -f- 1 —
En appliquant une seconde fois ces règles à Wi dans le premier cas, à W2 -I- I dans le second et en continuant toujours de la même façon on obtient le développement demandé.
Voyons, en parcourant la suite des termes des deux développements, à partir de quel moment ces deux développements commencent à diff'érer. Gela arrive au quotient complet Wn tel que
et que
(A) 2 — (u)„ — On -4- w,/ — a„) + 2(w„ — a„) (w,/ — a„) < o.
