Portons maintenant notre attention sur les réduites

Caiien. — Théorie des nombres, t. II. 3o

Que sont les réduites d'Hermite par rapport aux réduileç ordinaires P

Elles sont les mêmes jusqu'à ce qu'on arrive à un quotient complet r,)„ tel que a„J^^ = i et tel de plus que la condition (4) soit satisfaite. On voit alors comme au n" 229 que

La suite des réduites d'Hermite est identique à celle des réduites ordinaires sauf qu'on supprime des réduites dans les mêmes condi-lions qu'au n" 229, mais en ajoutant la condition (4) à la conditiona„^, = 1.

Cette condition (4) peut se transformer. Elle s'écrit :

Remplaçant -'.+1 P«^ -Q„a,-f.p„ ^^ ""+^ P" - Q,y + P„

chassant les dénominateurs en remarquant que Q„iO) — P„i est du signe de ( — i)""^' on arrive, après transformations faciles à

- 2(Q^ -4- QnQn-i -+- Q'n-i) + 4\r (' "^ ^~)

1 Vn

Qn-1 "^ t; P7

Considérons le cas particulier ou o' = — oo . Le demi-cercle est alors une demi-droite a; = m. La condition précédente devient

On retrouve aiusi un mode d'approximation identique à celui

donné par Hermile par une autre méthode ('). p p La condition que ry et ç^—^ sont des réduites du développement

(1) Heruite, J. r. a. M. l. 4i (i85i), p. igi. = OEavre», t. i, p. i68.

RELATION E.NTRE LE DEVELOP. d'hERMITE ET LE DÉVELOP. ORDINAIRE 4^7

ordinaire de w peut être négligée. Soit - une fraction irréductible quelconque et — l'avant dernière réduite du développement

de - en fraction continuelle ordinaire, ce développement étant

Al

,.,- m m . , . i'" T l'écrit de façon que r soit du signe de — — r.j. La condition

nécessaire et suffisante pour que - soit une valeur d'approximation d'Hermite telle qu'on vient de le définir est :

' ' 2(/i ■' -t- nn -h n^)

Mais cette condition entraîne la suivante :

1 nw — '?! I <C

et ceci prouve que — est une réduite du développement ordi-

naire de « et — la réduite précédente (n° 101). Donc etc.

On a supposé dans ce qui précède que celui des deux nombres 03, oV qu'on développe est le plus grand des deux. Le cas où le nombre oj qu'on veut développer serait le plus petit des deux se ramène au précédent en développant le nombre — w dans le couple — w, — (,)' et changeant les éléments de signe.

On a aussi supposé m irrationnel. Si w est rationnel le demicercle décrit sur ww' comme diamètre ne traverse entre le domaine fondamental et le point x = w qu'un nombre limité de domaines. Alors le développement d'Hermite est limité. D'ailleurs cela résulte aussi de ce que c'est un développement régulier (n° 224).

tin autre cas particulier est celui où le demi-cercle décrit sur (vx.y comme diamètre passe, entre le domaine fondamental et le point X = w, par un sommet d'un domaine. Alors, il arrivera dans le cours de la réduction qu'un demi-cercle sortira du domaine fondamental par un sommet. On pourra considérer ce cas comme

(1) G. HcMBERT, C. R. A. S. P. t. i6i (1915) p. 717.

la limite, soit du cas où le demi-cercle sort par un côté, soit du cas où il sort par la base; d'où deux développements possibles.

250. Revenons à la condition (5). M. G. Humbert a énoncé ce théorème remarquable : Lorsque w et oV sont deux nombres quadratiques conjugués la condition (5) coïncide, pour n suffisamment grand avec la condition (6). Autrement dit, le demi-cercle C décrit sur «0)' comme diamètre et la demi-droite x =^ m traversent, dans les environs du point « les mêmes domaines.

On peut généraliser : le demi-cercle G décrit sur fiyJ comme diamètre^ et le demi- cercle G' décrit sur wa" comme diamètre, «" étant quelconque, traversent, dans les environs du point w les mêmes domaines. En effet supposons pour fixer les idées oxCo/^ w' ; la démonstration serait analogue dans toutes les hypothèses. Il faut démontrer i° que tout domaine traversé par G et suffisamment voisin de ^j est aussi traversé par G' 2° que tout domaine traversé par G' et suffisamment voisin de co est aussi traversé par G. 1° Soit un domaine traversé par G. Si sa pointe est à droite de w il est évident qu'il est traversé par G'. Si sa pointe est à gauche de w, soit Dj ce domaine. Si Di n'est pas traversé par G il ne Test pas non plus par G'. Mais il peut arriver que Di soit traversé par G et non par C, Soient Di, Dj, ... les domaines que traverse successivement G, dans le sens de Divers w. Soit S la substitution automorphe fondamentale (n" 173) de la forme à coefficients entiers qui a pour racines w eto)'. Il y a un entier i tel que D/,^i = D/jSquel que soit h (en appelant D/,S le transformé de Da par S). Démontrons que pour h suffisamment grand DiS* est traversé par G'. Or D, a au moins un sommet B à l'intérieur de G. Le point Bt transformé de B par S* est sur le demi-cercle F passant par w, B et w', et se rapproche indéfiniment de w quand k augmente. Mais, l'arc du demi-cercle Y qui part de w' pénètre dans G'. Donc B^ pénètre dans G' pour k suffisamment grand.

Maintenant la démonstration qu'on vient de faire pour Dj s'applique aussi bien à D2, D3, ... D/j,. La première partie du théorème est donc démontrée On démontrerait de même la seconde partie.

Geci prouve que les différents développements dllermite que ton obtient pour un nombre quadratique w en adjoignant à ce

nombre un autre nombre quelconque ne dijjhreni que dans le début. A partir d'un certain rang ils deviennent identiques entre eux et en particulier à celai quon obtient en adjoignant à « son conjugué. Ces développemenls sont périodiques .

I. — La réduction continuelle d'Hermite a été exposée de la façon suivante par Selling ('). Soit la forme indéfinie (a, 6, c). On détermine des nombres ^, tj, $i, tji, tels que

il y a une infinité de ces systèmes de nombres. Puis on considère toutes les formes définies (^^ -+- $f, 2(;t, -f- ^it,i, i]^ -+- -rif). Le lecteur démontrera qu'on retrouve ainsi les formes attachées à (a, b, c).

IL — Si un demi-cercle orthogonal à Ox passe par deux sommets de ^la figure i, ou bien ce demi-cercle coupe Ox en deux points d'abcisses rationnelles, ou bien il passe par une infinité de sommets de la figure.

III. — Aalre représentation géométrique des formes quadratiques binaires (^).

On représente la forme primitive (a, 6, c) par le point de coordonnées trilinéaires (a, 6, c). On suppose pour simplifier que'^le triangle de référence ABC est isocèle (AB = BC) et que les paramètres de référence sont choisis de façon que 6^ — 4«c = o représente le cercle tangent en A à BA et en C à BC. Les points à l'intérieur de ce cercle représetitent les formes définies, les points à l'extérieur, les formes indéfinies. Les points correspondants aux formes définies réduites constituent un domaine fondamental limité par les droites b = a, 6 = — a, a ^^ c. Il correspond à la substitution identique. A chaque substitution modulaire correspond un triangle. L'ensemble de ces triangles recouvre la surface du cercle. Une forme indéfinie (a, 6, c) est dite réduite lorsque la polaire du point a, b, c par rapport au cercle traverse le domaine fondamental. D'ailleurs celte représentation se déduit de celle du chapitre XXI par une projection stéréographique .

(1) Selling, J. r. a. M., t. 77 (1874) p. ih'].

(2) HuRwiTz, Math, papers of Ihe Chic Congres (1898) Ncw-Tfork, 1896, p. 125, Math. Ann. t. 45 (1894) p. 85, en partie traduit par L. L. Laugel, Nouv. Ann. Malh. série 3, t. 16 (1897, p. 49)-