CHAPITRE XXIï
251. — Nous parlons de l'identité facile à vérifier (*) : (i) (ax* + bxy + a'ef) {a'x'^ -+- bx'f + aey'^) = aa'X^ + 6XY + eY^
dans laquelle on a posé :
S X = xx' - eyy'
( Y = axj'' -4- a'x'y -+- byy'
Les trois formes qui entrent dans cette identité ont même déterminant
Nous dirons que les formes (a, 6, a'e) et (a', 6, ae) sont immédiatement mullipliables et que la forme {aa', b, e) est leur produit.
Pour que deux formes soient immédiatement mullipliables il faut et il suffit qu'elles aient même déterminant, même second coefficient, et que le troisième coefficient de l'une soit divisible par le premier coefficient de l'autre. Ces conditions sont évidemment nécessaires. Elles sont suffisantes car si elles sont remplies, en
(^) Cette identité se trouve dans Lagrange. Le cas particulier :
{x^ + y«) («'3 4- y^) = {XX - yyy + (x^' + x'y)*
se trouve dans Léonard db Pise (ScriUi de Leonardo Pisano, pablic. da B. Boncompagni, t. 2, p. 294, Roma 1867) elle était sans doute connue depuis longtemps.
La théorie générale de la multiplication des classes est due à Gauss (Disq, Arithm. art. 234 et suiv.).
Xs
MULTIPLICATION DES CLASSES ^'Jl
supposant que la seconde forme soit (a', 6, c') la première sera (a, 6, a'e), et en écrivant que les deux formes ont même déterminant on trouve :
c' = ae
252. Théorème I. — Si les valeurs de x, y sont premières entre elles, ainsi que celles de ae', y' tout commun diviseur de X,Y divise :
ax^ + hxy -+- a'ey'^ et a'x'* -H hx'y H- aey'*
En effet, un tel diviseur d divise :
— a'X/H-Yx
■c'est-à-dire et :
c'est-à-dire
y{ax^ H- bœy -+- a'ey^ (ax + ftjjX 4- g/Y
x'[ax^ -t- bxy + aey*).
Les entiers x', y étant premiers entre eux on voit que d divise ;
ax* -f ^^7 -+■ a'ey^.
On verrait de même qu'il divise :
a'x"" H- hx'y' -h aey'^
Ca5 particulier, — Si Xj y sont premiers entre eux, ainsi que
X', y', et
ax^ -\- bxy H- a'ey^ et a'ce^ -f- bx^ + aey''
alors X et Y le sont également. Autrement dit :
Si deux Jormes immédiatement mullipliables représentent primitivement lune un entier m, l'autre un entier m', si, de plus, m et m' sont premiers entre eux ; le produit de ces deux formes représente primitivement le produit mm'.
Exemple : On a
La première forme représente primitivement 5 pour a* =^ o, j = i . La seconde représente primitivement 37 poar x = 2, y r= i.
Le produit de ces formes représente primitivement 5 X 27 pour
Mais un entier représenté primitivement par la forme produit n'est pas toujours égal au produit de deux entiers premiers entre eux, représentés primitivement, l'une par une forme facteur l'autre par l'autre.
Par exemple, la forme (i5, 2, i) de l'exemple précédent, représente primitivement l'entier i, qui ne peut se décomposer qu'en I X I ou ( — i) X ( — i). Or ni l'une ni l'autre des deux formes (3, 2, 5) et (5, 2, 3) ne peut représenter l'entier i ni l'entier — i.
Théorème II. — Si deux formes immédiatement multipliables sont primitives leur produit l'est aussi.
Car si aa', b et e avaient un facteur premier commun, ce facteur diviserait soit a soit a'. Supposons qu'il divise a, la forme (a, b, a'e) ne serait pas primitive.
Théorème III. — Deux Jormes immédiatement multipliables sont toutes les deux déjînies ou toutes les deux indéfinies.
Si les deux Jacfeurs sont des formes définies, le produit l'est aussi.
Si les deux facteurs sont des formes indéfinies, le produit l'est aussi.
Enfin, suivant que les deux Jacteurs sont des formes définies de même signe ou de signes contraires^ le produit est une Jorme définie positive ou négative.
Ces théorèmes résultent de ce que les trois formes ont le même déterminant et de ce que le premier coefficient de la forme produit est égal au produit des premiers coefficients des deux facteurs,
A partir de maintenant nous ne nous occuperons plus (sauf spécification contraire) que des formes primitives^ et dans le cas des formes définies, que des formes définies positives.
253. — Jusqu'à maintenant l'opération de la multiplication des formes apparaît comme très particulière puisqu'elle ne s'applique qu'à des formes très particulières. Le caractère de généralité de cette opération et son extension aux classes de formes, ressortira des deux théorèmes suivants :
Théorème I. — Elant données deux classes primitives de même déterminant on peut trouver dans chacune une forme de Jaçon que ces deux formes soient immédiatement multipliahles.
Prenons dans la première classe une forme quelconque (a, 6, c) puis dans la seconde une forme (a', b\ c') telle que a et a' soient premiers entre eux (n<> 183). Ensuite faisons sur la première
forme la substitution | '") et sur la seconde la substitution On obtient les formes :
(a, 2am -\- b, am^ -+- 6m -4- c) et (a', :ia'm' + h', a'm'^ -{- b'm' -{- c')
Déterminons m et m' de façon que les deuxièmes coefTicients de ces formes soient les mêmes :
lani -\- b = 2a'in' -f- b'.
Les entiers b et b' étant de même parité puisque les deux formes ont même déterminant cette équation peut s'écrire :
, , b'—b am — a m = ;
et elle est possible puisque a et a' sont premiers entre eux. On obtient ainsi deux formes ayant même second coefficient :
(3) (a, fc.,T) et (o', 6.. y').
Puisqu'elles ont même déterminant on a : . ay = ay .
Or a et a' sont premiers entre eux. Donc a divise y' ^^ ^' divise y. Donc les deux formes (3) sont immédiatement multipllables.
Remarque I. — Le deuxième coefficient 6i de ces formes est déterminé par b système de congruences :
6i ^ 6 (mod 2a)
6i ^ b' (mod 2a').
Remarque II. — On voit que l'on peut supposer que le premier coefficient de l'une des formes immédiatement multipllables est l'un quelconque des entiers représentables d'une façon primitive dans la première classe, le premier coefficient de l'autre étant l'un quelconque des entiers représentables d'une façon primitive dans la seconde classe et premiers avec le précédent.
Théorème II. — Ayant ainsi déterminé dans les deux classes deux Jormes immédiatement multipUahles (a, fc, a'e) et {cl. h, ae) où ton suppose D(a, a') = i , si l'on prend dans les deux classes deux autres formes immédiatement mullipliables (/, m, l'n) et {/', m, In), où Von ne suppose pas nécessairement D(/, /') = i, le produit des deux premières formes, soit {aa' b, e) et le produit des deux autres (//', m, n) sont de même classe.
Puisque (a, 6, a'e) et (/, m, l'n) d'une part, (a', 6, ae) et (/'; m, In) d'autre part, sont de même classe, c'est qu'il existe (n® 182) des entiers a, 7, a', 7' tels que :
la^ + may + l'nf = a l'a^ -h ma y + Iny'^ = a'
b — m ,, \ b — m , , , ': a — l ny ^^o I a — Iny ^ ° /
. ^ , ( (mod a) , * ( (mod a')
— ' — y 4- la^o j . Y -+- 1 « :^ o )
€t il faut démontrer qu'il existe des entiers X, v, tels que :
in^ + mXv + /iv2 = aa'
/.» I A — nv ^ o 1
, \ (mod aa')
Or il suffit de prendre pour X, v, les valeurs que donnent les formules (2) quand on y remplace x, y, as', y', a, a', 6, e, respectivement par a, y, a', 7', /, /', m, n :
X = aa' — nyv' V = laY + ^'a'y + ^Xi' •
Ces valeurs satisfont à la première des conditions (4) d'après l'identité (i). Elles satisfont à la seconde, car la quantité : b — m ^ 6 — m
peut se mettre sous la forme :
(aa' — ti'Tt') — n{laY H- /'«'y + '"TY')
ce qui montre qu'elle est divisible par a, et sous la forme :
<:e qui montre qu'elle est divisible par a' . Or D(aa') ■= i , donc «lie est divisible par aa! .
On démontre de même que la troisième des conditions (4) est «atisfaite.
254. Multiplication des classes. — On peut parler maintenant d'une multiplication des classes primitives de même déterminant A.
Soient G et G' deux telles classes. On peut, d'après le théorème I, prendre dans G et G' deux formes immédiatement multipliables, le produit de ces deux formes appartient à une classe F et, d'après le théorème II, cette classe F ne dépend pas du choix des formes choisies dans G et G' mais uniquement de G et G'. On dira que F ■est le produit de G par G'.
Ayant ainsi défini le produit de deux classes, on définira le produit d'un nombre quelconque de classes par les formules :
GC'G" = (COG" CG'CC'" = (GC'G")C'" etc.
D'ailleurs on peut effectuer la multiplication de plusieurs classes d'un seul coup par un calcul analogue à celui du n° 253.
On représente les classes par des formes telles que les premiers coefficients soient premiers entre eux deux à deux, soient (a, 6, c), [a!, b', c) ■ (o^**, 6<'>, c''*) puis on fait sur la première une
substitution | "^ | , sur la seconde une substitution | "M, ..., sur la dernière une substitution i * "^ | et on détermine m,
m', ..., m**' par la condition que les formes obtenues aient même second coefficient 6i. On est conduit aux équations :
2am 4- 6 = la'm -\- h' = = 2a(')mW -h &(') = 6i
ou ;
6i ^ 6 (mod ia) hi ^ h' (mod 2a')
tj ^ 6(') (mod 2a(')) «ystème de congruences possibles puisque a, a', ... a*'* sont pre-
miers entre eux deux à deux et que b, b% ... 6<'' sont de même parité.
On obtient ainsi des formes
(a, 6,. y), (a', 6., y), •.• (a^, 6^, yW),
et puisqu'elles ont même déterminant on a :
fly = c'y' = ... = a('>Y*''-
Or, a, a', ... a<'> sont premiers entre deux à deux ; donc la valeur commune des entiers ay, ày', ... est de la forme aa' ... a^'>e. Alors les formes à multiplier sont :
(a, 6,, a'a" ... a(')e), (a', b^, aa' ... é'U), ... (a"), 61, aa' ... a^'-'U).
Le produit des deux premières est {aa', bi, a" ... a<''e, le produit de celle-ci par la troisième est {aa'a", èi, a'" ..^a^'^e), etc. Finalement le produit des formes est {aa' ... a<*', bi,e).
On voit immédiatement que la multiplication des classes est une opération commuiative et associative.
En effet
(a, 6, a'e) (a', 6, ae) = (a', 6, ae) (a, 6, a'c) = {aa', b, e) [{a, b, a'a"e) {a', 6, aa"e)] (a", b, aa'e) = {a, b, a'a"e) [{a',b,aa"e) {a", b, aa'e)]
= {aa'a", b, e).
Corollaire. — Le produit d'un nombre quelconque de classes est indépendant de l'ordre des facteurs, et l'on peut y remplacer plusieur facteurs par leur produit effectué.
255. La multiplication des classes est une opération unipare. C'est-à-dire que l'égalité GC = CG" entraîne G' == G". En effet soit, comme plus haut :
(a, b, a'a"e), (a' b, a"ae) et (a", b, aa'e)
trois formes représentant respectivement les trois classes G, G, G".
Par hypothèse {aa', b, a"e) est de même classe que {aa", b, a'e) et nous voulons démontrer que (a', 6, a"ae) est de même classe que {a" b, aa'e).
Employons encore les conditions du n" 182. Par hypothèse il
existe deux entiers a, y, satisfaisant aux conditions : { aa'a- H- ha-^ + a!'e^{^ = aa"
' 67 H- aa'a ^ o ) '
et l'on veut démontrer qu'il existe deux entiers /, v, telles que
( a'X2 + 6Xv 4- a"ae^^ = a"
/ , ,^ 5 (niocl a')
Or, la seconde et la troisième des conditions (5) montrent que ey et by sont divisibles par a ; et comme D(a, b, e) = i puisque (a, 6, aV^) est primitive, il en résulte que y est divisible par a.
Alors X = a, V = -^ satisfont aux conditions (6).
256. Du rôle de la classe principale. — Dans la multiplication des classes, la classe principale joue le rôle d'unité. C'est-àdire que le produit d'une classe quelconque C par la classe principale est égal à G.
En effet la classe principale représente d'une façon primitive l'entier i . On peut donc (n° 253) trouver dans la classe principale et dans la classe C respectivement deux formes immédiatement multipliables et telles que le premier coefficient de la première soit I. Soient (i, b, ae), (a, b, e) ces deux formes. D'après la formule (i) leur produit est (a, 6, e) et ceci démontre le théorème.
Nous représenterons, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité possible, la classe principale par i .
Théorème. ^ Le produit de deux classes inverses ( n** 156) est égal à la classe principale. En effet une classe étant représentée par la forme (a, 6, c) son inverse peut être représentée par la forme (c, 6, a). Ces deux formes sont immédiatement multipliables et leur produit est [ac, b, i). Or, cette forme appartient à la classe principale puisque son dernier coefficient est i .
Ceci justifie la dénomination de « classes inverses », puisque la classe principale est assimilée à l'unité (').
Nous désignerons l'inverse d'une classe C par la notation G~*.
(•) Voir la note du n" 156.
h']8 THÉORIE DES NOMBRES
257. Puissance d'une classe, — Par définition : si m est entier et >. i, G'" est le produit de m classes identiques à G. Si m =1, G' = G.
Si m = G, G" = la classe principale.
Si m est entier et négatif, soit m = — m', on a :
Gelte dernière définition justifie la notation G~* employée pour la classe inverse de G. •
On constate sans peine que
quels que soient les entiers m, n, ...
Formation des puissances d'une classe. 1° Carré d'une" classe. — Prenons dans cette classe une forme dont le coefficient soit premier à D, soit a, b, c). Faisons sur cette forme la substitution modulaire (^ '"|. Elle devient :
(a, aam -J- b, am^ -)- Jm + c).
Déterminons m par la condition que dans cette nouvelle forme le dernier coefficient soit divisible par le premier, c'est-à-dire que
bm -Jf c^o (mod a).
G'est possible car a étant premier à D l'est aussi à b.
La classe est alors représentée par une forme (a, 6, ae) (le deuxième coefficient n'est plus le même que tout à l'heure, mais nous le désignons encore par 6, pour ne pas multiplier les notations) et l'on a immédiatement :
(a, b, aey = {a}, b, e).
2° Puissance i^""" d'une classe {i >. 2). — Appliquons la même méthode mais déterminons cette fois m par la condition que
(7) am^ -t- 6m H- c ^ o (mod a''~^).
k étant un entier supérieur ou égal à i.
Nous venons de voir que c'est possible pour k = 2 ; montrons que si c'est possible pour une valeur de l'exposant, c'est aussi possible pour cette valeur augmentée d'une unité. Soit mo tel que
anio^ -+ bmo -h c ^ o (mod a*~^).
EXPOSA>T d'l'>e classe /(79
Posons dans la congruence (7) ;
m = iriQ -h a*~-|jL
fjL étant la nouvelle inconnue. Cette congruence devient :
Qiic-s^z 4- (20*"* m^ H- 6a^~-);jL + am^o 4- bruo 4- c ^ o (mod a*-').
Or, 2k — 3 > A- — I, puisque A: >• i > 2. La congruence précédente s'écrit donc plus simplement :
bii H ^^, = (mod a).
Elle est donc possible.
Ainsi la classe C est représentée par (a, 6, a*~'e) et l'on trouve facilement :
(a, b, a^-^ej = (a', 6, a*-»e)
valable pour toutes les valeurs de k supérieures ou égales à i, en particulier pour k = i ce qui donne :
Remarque. — On peut suppposer le coefficient a, premier non seulement à D mais même à liD, h étant un entier quelconque. Cette remarque nous sera utile.
258 Rapport de deux classes. — Soient les deux classes C et C, il existe une classe et une seule F telle que CT = C.
En effet en multipliant les deux membres de cette égalité par C'~', il vient Y = GC'~*. Ainsi il ne peut y avoir que la classe CG'-* qui réponde à la question, et d'ailleurs on voit immédiatement qu'elle y répond. Cette classe se nommera le rapport de C à C On voit immédiatement que :
1" Le rapport de C à C est le même que celui de CC à C'C".
2" Le rapport d'une classe à elle même est la classe principale,
259. Périodicité des puissances d'une classe. Exposant d'une classe. — Considérons la suite indéfinie dans les deux, sens des puissances d'une classe C
Gomme le nombre des classes d'un même déterminant est limité il y a dans celte suite des termes identiques. Soit
On en déduit C"'~" = i. Ainsi il y a un exposant positif m qui jouit de cette propriété que G'" = i .
Appelons m le plus petit exposant positif jouissant de cette propriété ; m est dit l'exposant de la classe G. On voit alors immédiatement que les m premiers termes de la suite sont différents deux à deux; et que la suite est périodique, la période étant justement i, G, G^ ... G"*"*. Les exposants v qui jouissent de la propriété C^ = i sont les multiples de m.
260. Théorème. — Le carré d'une classe bilaière est égale à la classe principale . L'exposant d'une classe bilatère est égale à 2, sauf si cette classe est la classe principale.
En effet une classe bilatère G est à elle-même son inverse (n" 177) G = G~*. Donc G* = I. Il en résulte que l'exposant est 2 ou i, mais si l'exposant est i la classe G est la classe principale.
Exemple. — Soit D= io4, on trouve 6 classes positives, toutes primitives
A est la classe principale, B est bilatère, G et D ont pour exposant 3, E et t" ont pour exposant 6.
On voit sur cet exemple que les exposants de A, B, G, D, E, F 5ont tous diviseurs de 6. Geci est général.
261. L'exposant d'une classe primitive est un diviseur du nombre h de classes primitives du même déterminant. —
(Glasses positives, si le déterminant est négatif).
Soit une ciasse G, de déterminant D, soit m son exposant, écrivons la suite
Si ce sont là toutes les classes de déterminant D, on a h = m.
