RAPPORT ENTRE LA THEORIE DE LA COMPOSITION ET LA THEORIE, ETC. 48 I

Sinon soit Ci une classe de déterminant D qui n'est pas dans la suite (8).

Considérons

(9) Ci.CC, ...C,C— .

On démontre facilement que dans l'ensemble des classes (8) et (9), deux classes quelconques sont différentes entre elles. Si (8) et (9) constituent toutes les classes de déterminant D, on a h = 2m.

Sinon soit Gj une classe qui n'est ni dans (8) ni dans (9), on forme

(10) C3, ce, ...CïC'"-'

et l'on continue le raisonnement de la même façon. Si l'on épuise toutes les classes du déterminant D en k suites telles que (8), (9), (10), ... on a h = km.

On remarquera l'identité de ce raisonnement avec celui de 1 . 2^0.

Ceci sera expliqué dans le chapitre suivant.

262. Rapport entre la théorie de la composition et la théorie des genres. Théorème. — Les caractères (n" 212) de la classe ce sont les produits des caractères' de la classe G par ceux correspondants de la classe C.

En effet tout caractère de C est égale à l'une des expressions suivantes :

- ) (/) étant un facteur premier impair du déterminant),

m étant un entier impair, premier au déterminant, représentable primitivement par la classe G. Les caractères correspondants de C

sont ("^j». ( — i) ^ etc. m' étant un entier impair, premier au

déterminant et à m', représentable primitivement par C. De plus on a vu (n" 252) que CC représente primitivement le nombre mm'.

Gàhik. — Théorie des nombres, t. II. 3i

Les caractères de CC'sont donc i/- — ), ( — i) ^ , etc

Or on vérifie facilement que

m — im^— I m — i m'* —

ce qui démontre le théorème.

Corollaire. — Les classes carrés parfaits ont tous leurs caractères égaux à i. Elles appartiennent au genre principal {n° 213).

La réciproque est vraie, elle sera démontrée plus loin.

263. Multiplication des genres. — Il résulte du théorème précédent que si l'on se donne deux genres G, G', et si l'on prend une classe G de genre G, et une classe G' de genre G', le genre de GG' ne dépend que de G et G', et non de G et C.

Ce genre pourra s'appeler le produit de G par G' et se désigner par GG'. La multiplication des genres ainsi définie est une opération commutative, associative, unipare. Le genre principal joue le rôle d'unité. D'après le corollaire du théorème du n» 262, le carré de tout genre est le genre principal. Autrement dit tout genre a l'exposant 2, sauf le genre principal qui a l'exposant i. Tout genre est identique à son inverse.

— On a vu {n° 180 th. II) que la condition pour qu'un entier m soit représentable d'une façon primitive dans certaines classes de déterminant A est que la congruence

x^ -\- px — k ^ o (mod m)

soit possible. Cherchons maintenant ce que l'on peut dire de ces classes dans lesquelles m est représentable primitivement (').

(*) Les théorèmes qui suivent ont été exposés d'une façon systématique par M. DE La Vallée Poussin. {Mém. couronnés et autres mém. pub. par l'Ac. roy. de Belgique, t. 53). Un certain nombre d'entre eux étaient connus auparavant.

On peut se borner au cas de m >> o, car si l'entier m est représentable par (a, 6, c), l'entier — m est représentable par (—a, — 6, — c).

Théorème I. — Soit p un nombre premier tel que A ^ o {mod p^). Si p* (a > o) 65/ représentable d'une façon primitive dans une classe de déterminant A, il l'est aussi dans la classe inverse et il ne l'est dans aucune autre. Ces classes sont primitives.

En effet la congruence

x^ 4- px — /c ^ o mod p"^)

si elle a des racines en a deux (n" 35) dont la somme est congrue (mod p^) à — p. Soient n et — o — n ces deux racines, p* sera représentable dans les classes des deux formes

(p^ (2n -+- o), p j et (^p* — (an + p) p^ j

€t dans celles-là seulement. Or ces classes sont inverses l'une de l'autre. Elles sont primitives. En effet puisqu'elles représentent p*, leur diviseur ne pourrait être qu'une puissance de p. Mais alors A serait divisible par p^ ce qui est contre l'hypothèse.

Remarquons d'ailleurs qu'il peut arriver que ces deux classes n'en fassent qu'une. Cela arrive quand elles sont bilalères.

Le théorème est encore vrai pour a = o, car dans ce cas p^ = i qui n'est représentable que dans la classe principale.

Remarquons que si A est divisible par p mais non par p^, la congruence n'est possible que si a <! 2 et elle n'a qu'une racine

n = — I (mod p).

La classe qui représente p est celle de

I si A pair

p, p, ^ , j si A impair.

Dans les deux cas c'est une classe bilatère. Théorème II. — Soitp un nombre premier tel que jA ^ o{mod p*) et qui soit représentable primitivement dans les deux classes primi-

tives C el C~* ; alors /)<* est représentable de la même façon dans les classes C" el G"" et dans celles-là seulement. Cela résulte de l'égalité :

cas particulier de l'égalité :

(pS 6, p«-'c) = (p, 6, p«-'c)« (i=i, 2, ... ûi).

démontrée au n° 257.

Corollaire. — // existe des exposants m tels que p*" est représentable d'une façon primitive dans la classe principale. Ces exposants sont les multiples du plus petit d'entre eux. Ce dernier est dit l'exposant de p par rapport au groupe des classes de déterminant A.

Théorème III, — Soit a=p^q^ ...un entier. Supposons que p soit représentable d'une Jaçon primitive dans G et G"S q dans C et G'-*, etc. Alors a est représentable d'une façon primitive dans les classes