II) G±«G'±P
et dans celles-là seulement.
En effet une classe qui représente a d'une façon primitive contient une forme dont le premier coefficient est a, soit (a, 6, c). Or
ce qui démontre le théorème.
Remarque. — Les classes données par cette formule ne sont pa& nécessairement distinctes. Et même il est certain que lorsque le nombre des facteurs premiers de a est suffisamment grand elles ne le sont pas. Gar le nombre des classes distinctes de déterminant A est fini.
Corollaire I. — // existe des puissances de a représentables d'une façon primitive dans la classe principale.
En effet soit m l'exposant dep, m' celui de ç, etc. Déterminons l'entier n par les conditions :
na ^ o (mod m) n[3 ^ o (mod m')
Il est visible que a" est représentable d'une façon primitive
dans la classe principale, puisque/)"^, (/"s ... le sont et d'ailleurs sont premiers entre eux deux à deux (n° 252).
Ces exposants sont tous multiples du plus petit d'entre eux.
En effet soit p^ le plus petit d'entre eux et m un autre. Les entiers «"" et ai^ étant représentables dans la classe principale il en est de même de a'""'^^ quel que soit g, et en prenant pour q le quotient à une unité prés de m par ^, on trouverait, si m n'était pas divisible par [x, un exposant r positif plus petit que p, et tel que a'" serait représentable dans la classe principale.
L'entier [j, sera dit t exposant de a par rapport au groupe des classes de déterminant A.
Cas particulier. — Si a est représentable d'une façon primitive dans la classe principale, toutes les puissances de a le sont aussi.
265. — Ayant ainsi déterminé les classes qui représentent un entier a d'une façon primitive on peut se demander pour quelles valeurs des variables se font les représentations.
Dans chacune de ces classes il y a une infinité de formes. On peut se borner à clierclier les représentations de a par l'une de ces formes, car si dans la forme/, l'entier a est représenté par x = Xq^
y = yo, dans la forme/ X ( 'M, il est représenté par
€t réciproquement.
Ensuite un entier peut avoir, dans une forme /, plusieurs ou une infinité de représentations, mais on sait que ces représentations se déduisent d'un certain nombre d'entre elles par les substitutions automorphes de la forme. On peut considérer toutes ces représentations comme n'étant pas distinctes.
Ceci posé considérons d'abord un nombre premier p représentable dans une classe G et dans G~'. On peut représenter G par la forme (/>, 6, c) et C~' par (p, — b, c). Dans chacune de ces classes p a la représentation £C = i, y = o et il n'en a pas d'autres (deux représentations qui se déduisent l'une de l'autre par une substitution automorphe de la forme n'étant pas considérées comme distinctes). En effet on sait que chaque représentation correspond à
une racine de ai^ + pa; — k^o (mod p). Or cette congruence n'a que deux racines. Ces deux racines n'en font qu'une double dans^ le cas où A ^ o {mod p), mais en tout cas l'une étant b', l'autre est — b' — p. La première correspond à une forme {p, 26' H- p, c), l'autre à la forme {p, — 26' — p, c) c'est-à-dire à la forme opposée.
Considérons maintenant un entier p^. On voit de même qu'il
se représente dans deux formes opposées (p", b, c) et (/)", — 6, c) pour X = i, y = 0 seulement. Mais
(p^6.c) = (p, 6,p«-'cf et
Or (p, 6, p*'~^c) et (p, • — b, p^~^c) peuvent représenter p. Elles appartiennent donc respectivement aux classes C et C~^ qui
représentent ce nombre. Alors (p", 6, c) et (p*, — 6, c) appartiennent respectivement aux classes C" et C~".
D'autre part la représentation x = i, y = o de p^ dans la classe
C est celle qui se déduit de la représentation x=-i,y = odep' dans la classe C par. les formules du n° 251.
On verra alors facilement que toute représentation de a=p'^q^ ...
dans la classe C^C^ ... provient par application des formules du n" 251 de représentations de p, q, ... dans les classes C, C, ...
Un entier a aura plusieurs représentations distinctes dans une même classe quand cette classe pourra se mettre de plusieurs
façons sous la forme C^C^ ... On a vu en effet (n° 264 Remarque du théorème III) que ce cas se présente.
266. — La question posée au n° 264 est ainsi résolue. Voici d'autres théorèmes qui nous seront utiles plus tard.
Théorème I. — Soient a et a' représentables primitivement dans des classes primitives de déterminant A ; on peut trouver deux de ces classes T et V telles que F représente primitivement a, que Y' représente primitivement a' et que TV représente primitivement ad. De plus l'une des deux classes F, F', la classe F par exemple
CLASSES DA>S LESQUELLES UiN EMIER EST REPRESENTABLE 487
peut être prise arbitrairement parmi les classes qui représentent primitivement a.
En effet appelons p, q, ... l'ensemble des facteurs premiers de p et q^ et soit
a =zp^q^ ...
a'=/igP> ...
certains des exposants a, j6, ..., «i, |3i, ... pouvant être nuls. Les classes qui représentent p sont
celles qui représentent p' sont
c±"<:'±Pi ...
Prenons arbitrairement Tune des classes qui représentent a, par exemple
Il suffit de prendre pour F' la classe
r' = C''iC'~^^' ...
les signes des exposants étant les mêmes. Ces classes F, F' et leur produit FF' répondent à la question.
Théorème II. — Si deux entiers a et ai sont représentables primitivement par une même classe C, leur produit admet, dans la classe principale, des représentations dont le diviseur divise D(a. aO-
En effet ai étant représentable primitivement dans G l'est aussi dans G~^. Donc aai admet dans GC~', c'est-à-dire dans la classe principale une représentation dont le diviseur divise D(a, ai) (n»252).
Cas particulier. — Si deux entiers a et a^, premiers entre eux, sont représentables primitivement dans une même classe, leur produit est représentable primitivement dans la classe principale.
Réciproque. — Si a et a, sont premiers entre eux et si aa^ est représentable primitivement dans la classe principale, on peut trouver une classe dans laquelle a et a^ sont représentables primitivement.
Les classes qui représentent primitivement a sont les classes celles qui représentent primitivement ai sont
/-i+otipz+ai 11'"
celles qui représentent primitivement aai sont
Par hypothèse l'une de celles-ci est la classe principale. Soit
On a
r = C"C"'"' ... = Cr''*'G'r^'°''' ...
La classe F jouit de la propriété annoncée.
Théorème III. — Une classe carré parfait représente primitivement des entiers carrés parfaits, premiers à AA, h étant un entier quelconque.
En effet, nous avons vu (n° 257) qu'une classe carré parfait peut se représenter par (a^, 6, c) a étant premier à liA. On voit que cette forme représente primitivement a^ ce qui démontre le théorème.
Théorème IV. — Toute classe qui représente un carré a^ tel qu'aucun de ses Jacteurs premiers n'entre au carré dans A, est une classe primitive, carré d'une autre classe primitive.
Tout d'abord on peut supposer que la représentation de a^ dont
il est parlé est primitive. Car si la représentation de a^ a lieu pour
X == dx', y = dy' , avec D[x , y') = i, il y aura une représenta-
tion primitive de -p pour x z= x\ y =y' .
Ceci posé, la classe en question peut se présenter par (a^, b, e). Or cette forme est le carré de (a, ^, aé). Les formes (a^ b, e) et [a, b, ae) sont primitives puisqu'un facteur premier de a n'entre , pas au carré dans A.
Remarquons que cette condition qu'aucun facteur premier de a n'entre au carré dans A est remplie dans les deux cas suivants : 1° lorsque a et A sont premiers entre eux; 2° lorsque A n'est divisible par aucun carré autre que i .
Théorème V, — Toute classe qui représente primitivement une puissance n^*"*, a" telle qu'aucun de ses facteurs premiers n'entre au carré dans A est une classe primitive, puissance n^^ d'une autre.
On remarquera que l'énoncé de ce théorème diffère du précédent d'abord en ce que le carré y est remplacé par la puissance n"'^^, ensuite en ce que la représentation de a" est supposé primitive. La démonstration est d'ailleurs analogue.
Théorème VI. — Si on considère deux classes capables de repré' senter primitivement un même entier a, leur rapport est une classe carré parfait.
Car l'une de ces classe sera
(.eaQ-e^
et l'autre
les £ étant + ou — i . Leur rapport est
Q(££j)aQ,(s'e,')a' ^^
Or tous les entiers s — £i, s' — ôi', ... sont égaux à o ou à ± 2. La classe précédente est donc le carré de
Corollaire. — Si l'une des classes capables de représenter primitivement a est carré parfait, il en est de même de toutes.
Théorème VII. — Si un produit tel que ab^ est re présentable, primitivement ou non, par la classe principable, toute classe primitive G susceptible de représenter primitivement a est un carré" parfait. ,
1° Examinons d'abord le cas 011 a et b sont premiers entre eux et où la représentation de ab^ par la classe principale est primitive. Alors d'après la réciproque du théorème II, on peut trouver une classe qui représente primitivement a et b^. Puisqu'elle représente b^ elle est carré parfait, 11 y a donc une classe représentant primitivement a et qui est carré parfait. Donc toute classe représentant primitivement a est carré parfait.
2° Supposons maintenant que a et 6 ne soient pas premiers entre eux, la représentation de ab- par la classe principale étant
Aqo théorie des nombres
encore supposée primitive. Prenons dans b tous les facteurs premiers qui sont dans a, et prenons les avec l'exposant qu'ils ont dans b, soit d leur produit, et soit 6 = b'd. On a
ab^ = ad^{b''').
Mais b' est premier à ad^. Donc toute classe qui représente primitivement ad^ est carré parfait. Maintenant on peut trouver une classe r qui représente primitivement a et une classe V qui représente primitivemenf d^ [d^ est représentable primitivement par une classe de déterminant A parce que d^ est un diviseur de b^ {n" 181), de façon que FF' représente primitivement à cf*. La classe FF' est carré parfait, la classe F' l'est aussi puisqu'elle représente d^, donc la classe F l'est aussi. Et par suite toute classe qui représente a est carré parfait.
3° Supposons enfin que la représentation de ab^ dans la classe principale ne soit pas primitive. Soit â son diviseur. Il y a donc
une représentation primitive de -g^- dans la classe principale. Soit 57 la plus simple expression de g . Alors ab^ ab^
Comme è'^ est premier à 6'^ il divise a et l'on peut écrire :
ab^ a , ,2
Puisqu'il y a une représentation primitive de ^ti b'- dans la classfr
principale c'est que toute classe qui représente primitivement jtj est carré parfait. Mais on peut trouver une classe G qui représente primitivement ^î et une classe G' qui représente primitivement
à'^ telles que GG' représente primitivement a.
Or nous venons de démontrer que G est carré parfait.
Quand à G' elle l'est aussi puisqu'elle représente primitivement ^'^ ; donc GG' l'est aussi, et il en est de même de toute classe qui représente primitivement a.
CLASSES PRIMITIVES IDENTIQUES A l'iNVERSE DE LEURS OPPOSEES AQI
267. Trouver les classes primitives de déterminant S identiques à l'inverse de leurs opposées. — Question posée au n° 178).
On doit avoir pour une forme {a, 6, c) appartenant à une de ces classes
C[a, b, c) désignant la classe à laquelle appartient (a, 6, c). Multiplions les deux membres par G(a, — 6, c). Il vient
et réciproquement de cette égalité on déduit la précédente à cause de l'uniparité de la multiplication des classes.
Dans cette dernière égalité le premier membre est la classe principale. Le second peut s'écrire
Il est égal à G ( — ac, b, — i) car les deux formes ( — a, b, c) et (c, b, a) sont immédiatement multipliables. Il appartient donc à la classe opposée à la classe principale, qui est d'ailleurs la même que la classe inverse opposée de la classe principale. Il résulte de ce qui précède que :
Toutes les classes primitives de déterminant A sont identiques à t inverse de leur opposée lorsque cette circonstance se présente pour la classe principale, ou plus simplement lorsque la classe principale est identique à son opposée et dans ce cas seulement.
Geci n'a jamais lieu pour les classes défîmes. Gherchons dans quel cas cela a lieu pour les formes indéfinies. Pour écrire que (i, |<5, — k) et ( — I, p, k) sont de même classe, il faut écrire
que leurs premières racines — ^ "*" ^ = u) et sont de même classe. Soit :
0) = Qo -+-
Alors
Oh
ai -h
-h Oi — I 4- 02 -h
si
Oi ;zf 1 et
si
Oi = I.
Dans les deux cas on voit que les périodes de w et — oi — 0 sont les mêmes mais que les nombres d'éléments qui précèdent un même élément de la première période rie sont pas de la même parité dans les deux développements, La condition pour que w et — w soient de même classe est donc (n" 174) que le nombre d'éléments de la période de co soit impair; ou, ce qui revient au même (n" 128) que l'équation t^-hplu — ka^ = — 1 soit possible.
Remarque. — Pour voir directement si {a, h, c) et ( — a, b, — c)
sont de même classe, il faut voir si leurs premières racines ~ -^—
^t ^ sont de même classe. Par le même raisonnement
— ia
que plus haut on voit que la condition pour qu'il en soit ainsi est
que le nombre d'éléments de la période de ^^ — ^ soit impair.
Mais comme d'autre part on a vu que la réponse ne dépend que de A et non de (a, 6, c) on a le résultat suivant : Les périodes correspondantes aux racines de toutes les formes primitives appartenant à un même déterminant ont toutes un nombre pair ou toutes un nombre impair d'éléments.
268. Deux formes quadratiques binaires qui représentent les mêmes entiers sont équivalentes.
Ce théorème a été démontré au n° 161 pour les formes définies. Le théorème analogue pour les formes et les systèmes de formes linéaires a été démontré aussi (I 28/i). Les deux démonstrations ont en commun qu'elles s'appuient 1° sur ce que la connaissance des entiers représentés permet de former les coefficients de la forme réduite (ou système réduit) 2° sur ce que deux formes réduites (ou systèmes réduits) équivalentes sont identiques.
Une telle démonstration ne peut s'appliquer aux formes indé-
