FORMES QUADRATIQUES BINAIRES REPRESENTANT LES MÊMES ENTIERS ^Q
finies, pour lesquelles le théorème est vrai cependant. Nous allons en donner une autre ('). Cette démonstration s'applique aussi aux formes définies. Nous ne supposerons donc rien, à priori, sur le signe du déterminant.
Théorème I. — Deux Jormes qui représentent les mêmes entiers^ ont le même diviseur. Soient les deux formes dj et d'f, les formes^ et y' étant primitives. La forme /peut représenter un entier n premier à d' . Alors dn est représentable par df, donc aussi par d'f. Donc d' divise dn. Mais d' est premier à n, donc (/' divise d. on verrait de même que d divise d'. Donc d = d'.
Théorème II. — Lorsque deux Jormes représentent les mêmes entiers, les entiers qu'elles représentent d'une Jaçon primitive sont aussi les mêmes. (Ce théorème est vrai pour deux formes de degré quelconque.
En eflet, soit les deux formes/et g de degré p.
Considérons le plus petit, en valeur absolue, des entiers représentés par ces formes. Cet entier, soit n, est évidemment représenté d'une façon primitiye par les deux formes, car sinon il ne serait pas le plus petit en valeur absolue. De plus les entiers
2Pn, 3Pn, ... hi'n ...
sont représentés d'une façon non primitive, par les deux formes. Effaçons tous ces entiers du tableau des entiers représentés par les deux formes, les tableaux restants sont encore identiques. Prenons le plus petit, en valeur absolue, des entiers restants, soit n', il est représenté d'une façon primitive par les deux formes, car, sinon, ou bien il ne serait pas le plus petit en valeur absolue des entiers restants, ou bien il aurait été déjà efl'acé. Le raisonnement se poursuit de la même façon.
Il résulte des théorèmes I et II qu'on peut supposer que lesformes dont il s'agit sont primitives et que les entiers dont il s'agit sont représentés d'une façon primitive.
Problème. — Etant donnée une forme quadratique binaire primitive (a, 6, c) et un nombre premier p , à quelles puissances entre
(1) Il y en a une de Scherimg {J. m. p. a., 2« série, t. IV (iSSg)), naaisbeaucoup plus compliquée que la nôtre.
ce fadeur premier dans les entiers représentés d'une Jaçon primitive par la J orme (a, h, c) ?
Nous supposerons, ce qui est permis, a non divisible par/) (n° 183).
La réponse à la question posée dépend de l'exposant auquel p entre dans le déterminant A = 6^ — 4 ac de la forme. Nous appellerons cet exposant â. Ainsi A est divisible par /)* mais non par p '^\ D'ailleurs c? peut être nul, auquel cas A ne contient pas le facteur p.
Il faut distinguer le cas de p impair et celui de /> = 2.
Cas de p impair. — Alors 4 o, n'est pas divisible par p. Donc la puissance de p qui entre dans ax^ -+- bxy -+- cy^ est la même que celle qui entre dans
(12) lia(ax^ + bxy -+- cy^) ou (aax -h byY — Aj^.
Tout d'abord si l'on fait y ^ o (mod p) et par conséquent X ^ o (mod p) on obtient pour [:iax -+■ byY — Aj^ une valeur non divisible par p.
Ensuite si l'on fait y ^ o (mod/)), on peut donner à œ une valeur telle que lax 4- by soit divisible par/)'' [h > o quelconque) mais non par /)''+^ Maintenant le cas de p impair se subdivise en plusieurs autres.
a) â impair. — Pour h < l'expression (12) contient le
facteur p à la puissance 2/1. Pour h >• elle le contient à la
puissance &. Donc dans ce cas, les entiers représentés d'une façon primitive par la façon primitive par la forme peuvent contenir p aux puissances.
o, 2, ... S — 1 et 8.
b) (? pair, -^ est un non reste quadratique de p.
Pour h <c~, l'expression (12) contient le facteur p à la puissance 2/1.
Pour h^ ~ elle le contient à la puissance â'.
Pour h = - elle le contient aussi à la puissance c?, car pour
FORMES QUADRATIQUES BIIVAIRES REPRÉSEMAN'T LES MÊMES EMIERS ^qS
qu'elle le contint à une puissance supérieure, il faudrait que l'on ait :
\=-iy ("^od p)
ce qui est impossible puisque, par hypothèse, -^ est non-reste dep.
Donc, dans ce cas, les entiers représentés d'une façon primitive par la forme peuvent contenir p aux puissances :
c) (^ pair — est un reste quadratique de p.
Le raisonnement se fait de la même façon. La différence avec le cas précédent est que la congruence :
/ ^\ y» (mod/,)
n'est plus impossible et l'on démontrera facilement que les exposants cherchés sont dans ce cas :
0, 2, ... 0 — 2, 8 et 3 4- 1, 6 -I- 2, ... ad. inf.
Cas de p= 2. — Les raisonnements précédents doivent être modifiés pour/) = 2, car la multiplication par 4 change l'exposant auquel le facteur 2 entre dans ax^ -h bxy + cy^. Le cas de p = 2 se subdivise aussi en plusieurs.
a') â impair. — Alors o* >» 3 car si A est pair il est divisible par 4- Le coefficient a est supposé impair. Quand au coefficient 6 il est pair. On écrit :
( 1 3) a{ax^ -f- bxy -+- ay^) = {ax -h - yY — y y*.
Le raisonnement est le même que dans le cas a) et l'on trouve que le facteur 2 peut entrer dans les entiers représentés d'une façon primitive par la forme aux exposants :
0, 2, ... 8 — 3 et 8 — 2. b') â pair > o et -g ^ — i (mod 4).
On a (^ > 2. Le terme y y* contient 2 à la puissance â — 2. Le terme {ax -f-.- yY peut le contenir à une puissance 2h[h >> o).
Pour h <C l'expression (i3) contient 2 à la puissance 2/t
Pour h ;>
Pour h =
/: étant l'exposant de la plus haute puissance de 2 qui divise : (i4)
Or on peut rendre cette expression impaire ou paire, mais non divisible par 4, puisque — ^ — i (mod 4). Dans ce cas les exposants cherchés sont :
0, 2, ... 5 — 2 et ô — 1,
c') & pair > o e/ — ^ 5 {mod 8). Alors d^ > 2. On trouve par un raisonnement analogue les exposants : 0, 2, ... 8 — 2, 8.
d') âpair "> o el — ^ i [mod 8). On a encore d^ > 2.
Le raisonnement est analogue, mais l'expression (i4) peut être rendue divisible par toute puissance de 2 d'exposant égal ou supérieur à 3. On trouve alors :
G, 2, ... 8 — 2 et 8-1-1,8-1-2, .,. ad inf.
c') & = o A ^ I (mod 8). Dans ce cas A est impair donc b l'est aussi. Par hypothèse a l'est également, et la condition A ^ i (mod 8) entraîne que c l'est aussi. Alors ax^ -\- bxy -{- cy^ ne peut être pair pour des valeurs de ce, y premières entre elles. On trouve dans ce cas le seul exposant zéro.
f)^= oetA=i (mod 8).
