FORMES QUADRATIQUES BINAIRES REPRESENTANT LES MÊMES ENTIERS

On part de l'égalité (12). Si l'on étudie les exposants des puissances de 2 que peut renfermer le second membre il faudra leur retrancher 2 pour avoir ceux que peut renfermer ax^ -l- bxy + cy'^.

On trouve ainsi

0, I, 2, ... adinf. En résumé :

Exposants

p impair

8 impair

ir:. non reste de p

... 8 — I et 8

8 pair

vn reste de p

... 0 et 0 + I, 8 + 2,..

ad, inf.

8 impair

..8 — 3 et 8 — 2

8 pair > 0

^=-i(mod4)

... 0 — 2 et 6 — I

-^, =z 5 (mod 8) 20 ^

^5=1 (mod 8)

.. 0 — 2 et 8 + I, 8 + 3,

...ad inj.

A ^ I (mod 8)

A ^ 1 (mod 8)

3,... ad inf.

Théorème. — Quand deux formes quadratiques binaires représentent les mêmes entiers elles ont le même déterminant.

D'abord il est évident que les deux déterminants ont le même signe, car une forme de déterminant négatif ne peut représenter que des entiers du signe de son premier coefficient, tandis qu'une forme de déterminant positif peut représenter des entiers des deux signes.

Nous allons maintenant montrer qu'ils ont les mêmes facteurs premiers aux mêmes exposants. Considérons d'abord un facteur premier impair p. Supposons qu'il entre avec l'exposant cJ^ dans le déterminant de la première forme, avec l'exposant â' dans l'autre. D'après le tableau précédent les entiers représentés d'une façon primitive par la première forme contiennent p : soit aux exposants o, 2, ... S — i et S (5 impair)

» o, 2, ... S et 8 -t- I, S 4- 3, ...adi;i/. j ^ P*^^'

Caobn. — Théorie des nombres, t, II. 3i

^g^ THÉORIE DES NOMBRES

Pour la seconde forme les résultats seraient

o, 2, ... S' — 1 et ô' (ô' impair)

o, 2, ... S' et S' + 1, ô' + 2 ... ad inj. ) (°' P*'"")

Or il est visible que si ^' ;zf ù aucun des résultats relatifs à c?' ne^ peut coïncider avec aucun des résultats relatifs à c?. Donc <^' = ^.

Considérons maintenant le facteur 2. En raisonnant de la même façon nous voyons que pour ce facteur, il y a un cas où â" ;zf & et où cependant les résultats relatifs à & etâ' seraient les mêmes. C'est le cas où â est impair et où. â' = â — i avec :

^, = — 1 (mod 4).

Les résultats obtenus seraient 0, 2, ... â — 3 et c? — 2 pour â et pour â'. On aurait alors :

A ^ o (mod 2^) (8 impair > 3) A' = l

Examinons d'abord le cas de c? = 3.

Dans ce cas

A ^ o (mod 8), Q ^ — ^ (mod 4). A' = — •

Nous allons montrer que les entiers impairs représentés d'une façon primitive par les deux formes ne sont pas les mêmes. En effet, on sait (n° 211) que pour la première forme ces entiers sont congrus à i et 3 (mod 8) (et il y en a des deux espèces), ou bien sont congrus à — i et — 3 (mod 8) (et il y en a des deux espèces). Tandis que pour la seconde forme ils sont congrus à i et — 3 (mod 8) (et il y en a des deux espèces), ou bien congrus à — i et 3 (mod 8) (et il y en a des deux espèces). Comme ces résultats ne concordent pas, les entiers représentés d'une façon primitive par les deux formes ne peuvent être les mêmes.

Soit maintenant & ^ 3. Dans ce eas nous allons de nouveau reporter notre attention sur les entiers pairs représentés primitivement par les deux formes.

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES REPRESEMAM LES MÊMES EMTIERS ^99

Soit une forme (a, 6, c), avec

A = 6^ — !iac ^ o (mod 2*) (a impair). On a:

a(ax^ -f- bny -\- cy^) = [ax ~\ — y)' — j y^

r- étant pair et a impair, pour que ce nombre soit pair il faut que

X + - j soit pair. Posons donc :

y — y' nous obtenons une nouvelle forme, à savoir

(i5) 4|ax'^ + ^(i-a)xy + [(a-2)^-+-o(^]']/^|.

On voit alors que les entiers pairs représentés d'une façon primitive par (a, h, c) s'obtiennent en multipliant par 4 les entiers représentés d'une façon primitive par

De même les entiers pairs représentés d'une façon primitive par (a', h', c') s'obtiennent en multipliant par 4 les entiers représentés d'une façon primitive par

Donc pour démontrer le théorème il suffit de dé^^ontrer que les formes (16) et (17) ne peuvent représenter primitivement les mêmes entiers. Mais la forme (a, 6, c) ayant pour déterminant A, la forme (i5) qui s'en déduit par une substitution de déterminant 2, a pour déterminant 4 A, donc la forme (16) a pour déterminant

-7 . De même la forme (17) a pour déterminant t" = g •

On est donc ramené à démontrer le même théorème qu'on avait en vue mais pour un exposant ù diminué de deux unités. De proche en proche on ramène au cas de c? = 3 pour lequel il a été démontré.

5oO THÉORIE DES .NOMBUES

Théorème. — Quand deux formes quadratiques binaires représentent les mêmes entiers elles se déduisent l'une de l'autre par une substitution linéaire unité.

Pour démontrer ce résultat nous sommes obligés de nous appuyer sur un résultat que nous ne démontrerons que plus tard, à savoir :

Toute forme quadratique binaire primitive représente d'une façon primitive des nombres premiers (*).

Ceci posé, soient deux formes qui représentent les mêmes entiers. Parmi ces entiers on peut trouver un nombre premier p. On sait déjà que les formes ont même déterminant. Or on a vu (n° 264) que dans les formes de même déterminant, il n'y a que celles appartenant à une certaine classe et à la classe inverse qui puissent représenter un nombre premier donné/).

Le théorème est donc démontré.

Relativement à la multiplication des classes on peut se poser le problème général suivant : Trouver toutes les identités de la formé

f, g, h, étant trois formes quadratiques binaires ; X, Y étant des formes bilinéaires en x, y, ; x', y'.

Voir entre autres :

Gauss, Disq. arithm., art. 235.

Dederind, J. r. a. M., t. 129 (1906) p. i.

(1) Ce résultat du à Lejeuhe Dirichlet, se démontre par des moyens analytiques. Comme le résultat analogue, relatif à la progression arithmétique on n'a pu, jusqu'à maintenant, le démontrer [par les seuls moyens de la Théorie des Nombres.