AQ = U Q'A = U

Multiplions les deux membres de la première égalité à gauche par <Y. 11 vient :

Q'AQ = QU d'où

UQ = Q'U ou enfî^n

L'élément Q ainsi défini s'appellera inverse de A, nous le désignerons par A~'. Sa propriété fondamentale est exprimée par l'égalité

AA-'=A-iA= I.

Théorème. — Le premier et le second rapport (Tua élément B à an élément A sont respectivement A—'B et BA"*. Pour quils soient égaux il faut et il suffît que AetB soient permutables.

Voir l. 280,

Théorème. — Le premier rapport de deux éléments ne change pas si on multiplie ces deux éléments à gauche par un même élément. De même le second rapport ne change pas si on mulUplie ces deux éléments à droite par un même élément.

5o4 THÉORIE DES NOMBRES

En particulier le rapport de deux éléments permutables ne change pas si on multiplie ces deux éléments tous les deux d'un même côté par un même élément.

Voir I. 23i.

Inverse d'un produit. On a :

(AB ... L)-» = L-» ...B-^A-i.

Voir I. 23 1.