Puissances d'un élément. — Par définition

si m est un entier plus grand que i, A"' est le produit de m facteurs

égaux à A, si m = I A* = A

si m = — 1 A~* est l'inverse de A

si m est un entier négatif, m t= — m' A"" = (A"')'"' si m = o A" = l'élément unité.

Les théorèmes de I. aSa à I. 236 et la théorie des groupes, de I. 287 à I. 241, se généralisent et l'on a les énoncés suivants :

272. Groupes. — On dit qu'un ensemble d'éléments forme un groupe par rapport à une certaine multiplication, lorsque :

I. Le produit de deux éléments quelconques de Vensemhle appartient à Vensemble.

II. L'inverse d'un élément quelconque de Tensemhle appartient à l'ensemble.

Tout groupe contient l'élément unité. Cet élément forme à lui seul un groupe. Les puissances, tant positives que négatives d'un élément forment aussi un groupe.

On distingue les groupes ^/tnis (formés d'un nombre fini d'éléments), et les groupes infinis. L'ordre d'un groupe fini est le nombre de ses éléments.

On peut recommencer les raisonnements de I. 287 et 24o répétés au n" 259 de ce volume et l'on voit que pour tout élément A d'un groupe, il existe un entier m >> o tel que A'" = i , Le plus petit entier positif satisfaisant à cette condition est dit l'exposant de A, c'est un diviseur de l'ordre du groupe.

Il y a deux cas où la définition du groupe peut se simplifier en ce sens qu'il n'y subsiste qu'une seule condition au lieu des deux énoncés plus haut.

GROUPES 5o5

1° Lorsque le groupe est fini, la condition I suffit. La démonstration est donnée au n" 237 du lôme I de cet ouvrage (^).

2° Lorsque la multiplication est commutative il suffît de la seule condition : Le rapport de deux éléments quelconques de ^ensemble est un élément de Vensemble, elle entraîne les deux conditions données plus

haut. En effet, soit A un élément de l'ensemble, -^ ou i appartient

aussi à l'ensemble, donc -^ y appartient aussi, donc la condition II est remplie. Ensuite, soit B un autre élément de l'ensemble, ^ et par suite A ; g ou AB en est un aussi.

Lorsque tous les éléments d'un groupe H appartiennent à un groupe G, on dit que H est un sous-groupe de G, et que G est un sur-groupe de H.

Soit H un sous-groupe de G, soient Ai, A,, ... les éléments de H. Supposons d'abord que G soit un groupe fini, alors H l'est aussi. Dans ce cas les éléments de G peuvent être rangés dans un tableau de la forme :

Al Ao ... A„, BAi BA2 ... BA,„

LAi LAj ... LA,„

ou dans un tableau de la forme :

Aj Aj ... A„, AjB' A^B' ... A^B'

AiLj AnLi •'. ^mi-< •

(Voir I. 2/40).

(') Dans la définition des groupes de substitution donnée à cet endroit on a oublié de dire explicitement qu'il ne s'agissait que de substitutions réversibles. Mais cela était sous-entendu, puisqu'on y parle de l'inverse d'une substitution.

Ici nous avons explicitement dit qu'il ne s'agissait que de multiplication réversible. Mais d'ailleurs on peut démontrer le théorème suivant :

En supposant seulement la mulliplication générale, univoque et unipare, si l'on peut trouver un ensemble Jîni d'éléments tels que le produit de deux d'entre eux appartienne toujours à l'ensemble, la multiplication, pour ces éléments, est réversible. En effet on démontrera comme au n° I. 287, l'existence de m tel que A"" = I. A étant un élément quelconque de l'ensemble. Alors A"""' est l'inverse de A.

THCORIE DES NOMBRES

On en déduit que : V ordre d'an groupe fini est un multiple de V ordre d'un quelconque de sejsoas-groupés. En TparliculieT, l ordre d'un groupe fini est un multiple de l'exposant auquel appartient an quelconque de ses éléments.

Le rapport de l'ordre du groupe total à celui du sous-groupe est dit indice de ce dernier.

Les mêmes considérations s'appliquent à un groupe infini ou transfini, mais le nombre des lignes du tableau et celui des colonnes peuvent être infinis ou transfinis.

Corollaire. — Si A est an élément d'un groupe fini d'ordre i, on a

Enfin la notion de groupe transformé, d'un autre (I. a^i) s'étend sans peine.

Exemples. — L'ensemble de tous les nombres réels et ijnaginaires nejorme pas un groupe par rapport à la multiplication ordinaire. En eflet cette multiplication n'est pas toujours unipare car dans l'égalité AB == C, si l'on se donne A = C = o, B n'est pas déterminé.

Mais l'ensemble de tous les nombres réels et imaginaires sauf zéro, forme un groupe par rapport à la multiplication ordinaire car cette multiplication y est bien générale, univoque, associative, réversible et unipare.

Il en est de même de l'ensemble de tous les nombres réels sauf zéro, de l'ensemble de tous les nombres réels positifs, de l'ensemble de tous les nombres rationnels sauf zéro, de l'ensemble de tous les nombres rationnels positifs.

Quant à l'ensemble de tous les nombres entiers sauf zéro, il ne forme pas un groupe par rapport à la multiplication ordinaire car cette multiplication n'y est pas réversible.

L'ensemble de tous les nombres réels et imaginaires forme un groupe par rapport à l'addition ; il en est de même de l'ensemble de tous les nombres réels, de l'ensemble de tous les nombres rationnels, de l'ensemble de tous les nombres entiers.

273. Groupes isomorphes. — On dit que deux groupes G et G' sont isomorphes lorsqu'on peut établir entre leurs éléments une relation telle qu'à chaque élément de G corresponde un élément de G' et un seul, et que réciproquement à chaque élément de G' corresponde un élément de G et un seul ; telle de plus que si entre trois éléments A, B, G de G on a la relation AB = C, entre les éléments correspondants A', B', G' de G' on ait la relation A'B' = C' et réciproquement.