MODULES

Si l'on ne tient pas compte de la nature des éléments d'un groupe, mais seulement de la façon dont ils se combinent, deux groupes isomorphes sont identiques.

Exemple. — L'ensemble de tous les entiers positifs négatifs ou nuls forme un groupe par rapport à l'addition. L'ensemble de toutes les puissances à exposants entiers positifs négatifs ou nuls d'un nombre a forme un groupe par rapport à la multiplication. Les deux groupes sont isomorphes.

274. Modulea. — Supposons un ensemble de nombres (^) formant un groupe par rapport à l'addition. Un tel groupe sera dit un module. On voit qu'on peut dire : un module est un ensemble de nombres tel que :

1° si a et b appartiennt à t ensemble leur somme y appartient aussi ;

2° si a appartient à H ensemble — a y appartient aussi.

Mais d'ailleurs, d'après une remarque faite plus haut, l'addition étant commutative, on peut remplacer ces deux conditions par une seule et dire :

Un module est un ensemble de nombres tel que si a et b appartiennent à t ensemble leur différence y appartient aussi.

Exemples.

1° L'ensemble des nombres réels et complexes ;

2° L'ensemble des nombres réels ;

3° L'ensemble des nombres rationnels ;

4° L'ensemble des nombres entiers.

Chacun de ces modules est un sous-module du précédent.

Tout module contient le nombre zéro. Ce nombre forme, à lui seul, un module.

Modules de points. — Au lieu de nombres on peut considérer des systèmes de nombres. Un système de n nombres a;i, X2, ... x„, est souvent appelé un point dans l'espace à n dimensions, et on le représente par une seule lettre A.

C^) La définition donnée ici s'appliquerait aussi à des ensembles d'éléments quelconques, autres que des nombres, pourvu qu'on en ait défini l'addition. Mais elle serait à peu près inutile, car rien n'empêcherait d'appeler cette addition une multiplication, et la théorie ainsi constituée ne différerait pas de celle des groupes. On a cependant considéré des modules d'éléments autres que des ^nombres, mais on a introduit dans leur définition d'autres conditions qu'ici.

Les nombres Xi, x.^, ... Xn sont dits les coordonnées de A. Le point est dit réel si toutes ses coordonnées sont réelles, rationnel si toutes ses coordonnées sont rationnelles, entier si toutes ses coordonnées sont entières.

Si n = 1 , 2 ou 3 et si les coordonnées sont réelles, il existe un point géométrique dont les coordonnées sont celles-là. Cette représentation géométrique sera d'un grand secours.

La somme de plusieurs points A de coordonnées x^, Xi, ... x„, A' de coordonnées x'i, x'z, ... x'„, est le point de coordonnées

Xi -+- Xi -+■ .... X-i -+- Xj' -+- ..., ..., x„ -+- Xn -+■ ...

On définit d'une façon analogue la différence A — A' de deux points, et le produit mA d'un point par un nombre m.

On sait alors ce que c'est qu'un module de points. Tout module de points contient le point o, o, ... o (origine). Ce point forme à lui seul un module.

Exemples.

i" L'ensemble de tous les points réels et complexes ;

2° L'ensemble des points réels ;

3** L'ensemble des points rationnels ;

4° L'ensemble des points entiers.

Chacun de ces modules est un sous-module de précédent.

Le dernier a déjà été considéré dans le cas de n = 2 (L i47)-

275. Définition générale des réseaux. — Considérons un système de n formes linéaires

Ji = aiiX^ -+■ 012^2 -h

-t- QipXp

— H Q„pXp.

Les a sont des coefficients quelconques.

A chaque système de valeurs de Xt, xz, ... Xp correspond un point dans l'espace à n dimensions : yi, 72, ... Jn-

Supposons que les x prennent toutes les valeurs entières. Alors les y correspondant forment un module. Les éléments de ce module peuvent se représenter par une seule équation. Appelons