DÉFIMTION GÉNÉRALE DES RÉSEAUX

Ai le point de coordonnées a,,, 02;, ... am, et M le point de coordonnées yi, ji, ... jn, on peut écrire :

M = AjXi + Agor-i H- .,. 4- ApXp.

Un tel module s'appelle un réseau.

L'ensemble des points Aj, A2, ... A^ s'appelle une base de ce réseau.

Le réseau de base A,, Aj, ... A^ sera désigné par (Ai, A,, ... A^).

La théorie des réseaux coïncide avec celle des systèmes de formes linéaires à variables entières et à coefficients quelconques. Dans le cas où les coefficients sont eux-mêmes entiers, elle coïncide avec la théorie des systèmes de formes linéaires à variables et coefficients entiers (I chap. XV).

Il y a des modules qui ne sont pas des réseaux. Ainsi le module formé par l'ensemble de tous les nombres réels n'est pas un réseau. En effet, il n'est pas dénombrable, tandis que tout réseau est évidemment dénombrable (n° 83).

Dimension et rang d'an réseau. — Dans les formules (i) apparaissent deux entiers n et p dont le rôle est important. Mais il faut remarquer d'abord que ces nombres peuvent dans certains cas être diminués.

Supposons que les formes linéaires (i) ne soient pas indépendantes et appelons d le nombre maximum de formes indépendantes qu'on y peut trouver. Cet entier d est ce qu'on appelle la dimension du réseau (^). La dimension est égale à l'ordre du'déterminant non nul, d'ordre le plus élevé qu'on peut former avec le tableau des a (L 253).

La dénomination de « dimension » se justifie par les considérations suivantes. Soit par exemple n :^ 3 et d= 2\ cela veut dire que, dans l'espace à trois dimensions, tous les points de coordonnées 7i' }'25 J3 obtenus en faisant varier les x sont dans un même plan, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à un espace à deux dimensions. Mais ils ne sont pas en ligne droite, par conséquent n'appartiennent

(^) C'est ce que dans le premier volume de cet ouvrage nous avons appelé le rang (Voir I, 168 et 253). Nous suivions alors la terminologie généralement adoptée, mais il nous semble maintenant qu'il vaut mieux la changer. Le lecteur est donc prié de remplacer partout, dans les numéros 168, 253, etc., du premier volume le mot rang par le mot dimension.

pas à un espace à moins de deux dimensions. En résumé la dimension d'un réseau est le nombre de dimensions de l'espace qui le contient et qui a le moins de dimensions possibles.

Le nombre p peut se réduire aussi. Si les formules (i) nous faisons sur les a: une substitution unité nous ne changeons pas le réseau de points défini par ces formules. Cela revient à multiplier le tableau des a, à droite, par un tableau entier unité. Or il peut arriver qu'ainsi certaines colonnes deviennent identiquement nulles et par suite puissent être supprimées. On aura ainsi diminué le nombre des éléments de la base. Le nombre minimum des éléments de la base s'appelle rang du réseau et la base mise en évidence s'appelle base minimum.

Exemple. — Le réseau à une diménsioa

y = OiXi -h ... ajjXp

ou Oi, 02, ... Qp sont entiers est du rang i, car il est identique au réseau (I. 281)

y = D(a,, Oj, ... ap)x.

Plus généralement, le réseau (1) si les a sont entiers, peut se mettre sous une forme réduite (L 286) et il peut arriver que le nombre des éléments de la base s'en trouve diminué. Ainsi

( Jl = 20-1 — 2X2 -t- àXi

( J2 = — ôa-j -+- 9x2 — lOXj se ramène à

i ji = 2x1 l j2 = 3^1 -+■ 4x2 qui n'est que du rang 2.

Autre exemple. — Le réseau

y = (/2 — 2v/3}a;i4-(3v/3— v/2)x2+ (a v/2 — 4/3)^3 se ramène à

X = ^2X1 -+-\/Sxi en posant

Xf X2 j~T" 2X3 ^^^ Xj

Théorème. — Une condition nécessaire et suffisante pour quune base soit minimum est qu'il n'existe entre ses éléments aucune relation linéaire, homogène, à coefficients rationnels non tous nuls.

D1HR^SI0^ ET RANG 5ll

D'abord, il est évident qu'on peut dans l'énoncé précédent, remplacer, sans rien changer, le mot « rationnel » par le mot « entier »,

Ainsi la condition pour que A,, A-., ... A j, soit une base minimum est qu'il n'existe aucune relation de la forme

ai Al -+- otaAi H- ... H- aijAp = O

où «1, «2» ••• <^p sont des entiers non tous nuls. Dans cette relation Al, A2, ... Ap sont des points dans un espace à n dimensions, de sorte que la relation précédente équivaut à n relations ordinaires ayant toutes les mêmes coefficients y..

Pour faire la démonstration on peut ne considérer qu'une de ces relations, les mêmes calculs s'appliquant aux autres. Autrement dit, on peut supposer qu'il s'agit d'un réseau à une dimension.

i** La condition est nécessaire. — Soit le réseau (ai, ai ... a^} et supposons qu'il existe une relation :

otifli -+- a.^i -1- ... H- OpOp = o

(oci, «2, ... «p, entiers non tous nuls).

On peut supposer «i, «2, ... (/.p premier dans leur ensemble. On peut alors déterminer un tableau entier de n ligne et p colonnes, dont la première colonne soit a^, a2, ... a,, et qui soit égal à 1 (I. 212). Alors, faisant sur les a; la substitution correspondant à ce tableau, le coefficient de la première variable dans la nouvelle expression est nulle et le réseau (ai, Oo, ... a^) se transforme en un autre de rang égal au plus k p — i .

2" La condition est suffisante. — Soit le réseau [ai, ai, ... a^) équivalent au réseau (a/, a2', ... a'p i). Le second contient les nombres ai, ao, ... ap puisque ces nombres appartiennent au premier. On a donc n relations :

Oi = a/Xi,j -+- a.2l2,i H- ..• -+- a'p-i\-i,i{i = 1, 2, ... n)

les ), étant des entiers. On en tire, en éliminant les a', une relation homogène, linéaire, à coefficients non tous nuls entre ai, as, ... ap ; les coefficients étant des fonctions entières à coefficients entiers des X et, par conséquent, étant des entiers.

Corollaire. — Ai , A2, . . . Ap étant une base minimum d'un réseau, un point de ce réseau n'est représenté par AiCCi H- ... -{- ApXp que pour un seul système de valeurs des x, lesquelles sont entières.

5l2 THÉORIE nES NOMBRES

276 Différentes bases minimum. Théorème. — Etant donnée une base minimum d'un réseau toutes les autres se déduisent de celle-là par des substitutions unité. On peut, comme dans le théorème précédent supposer la dimension du réseau égale à i. Supposons de plus le rang égal à 2 pour simplifier l'écriture. Etant donné le réseau des nombres ax H- by, construit sur la base minimum

«, 6, faire sur a, b la substitution \ V) revient à faire sur x, y la substitution /a Y^ Q^ ^^jjg^j gj^gj j^ ^^ggg^ g^yg j^ ^^^^^

(ay. -f- b^)x --h (ay -h bâ')y.

Or la base aa H- 6^^, ay -l- 6cî* est minimum puisqu'elle ne contient que deux éléments et que le système est, par hypothèse, de rang 2.

Réciproquement soient a, 6 et a! , b' deux bases minimum du même réseau. Les nombres a'b' appartenant au réseau (a, 6), on a

a' = aoc -h b^ 6' = ay H- b8

où a, |3, y, & sont entiers. La quantité c/.â' — ^y est différente de zéro, car sinon il y aurait une relation linéaire, homogène, à coefficients entiers non tous nuls entre a et b'. On peut donc résoudre les équations précédentes par rapport à a et 6 et écrire :

a'8 — b'Q , —a'y-hb'a

au — pY ao — pY

et comme a et 6 ne sont représentables sous la forme a'x -j- b'y que pour des valeurs entières de a; et y il en résulte que la substitution

inverse de \ ^) est à coefficients entiers. Donc (^ g) est une

substitution unité (L 2^2).

Corollaire. — Un réseau de rang i soit (A) n'a que deux bases minimum A et — A. Mais tout réseau de rang supérieur à i a une infinité de bases minimum.

La détermination du rang d'un réseau est une question arithmétique. D'après ce que nous avons dit plus haut, elle se ramène à trouver les relations linéaires, homogènes, à coefficients rationnels non tous nuls qui existent entre des nombres donnés. Nous n'insisterons pas sur cette question, dont la solution est d'ailleurs fort peu avancée.

RÉSEAUX DE DIMENSION EGALE AU RANG 5l3

277- — Dans H espace à une dimension il y a entre les réseaux réels de rang i et ceux de rang supérieur cette différence fondamentale que les nombres d'un réseau de rang i sont séparés par des intervalles finis, tandis que ceux d'un réseau de rang supérieur à I sont infiniment voisins les uns des autres.

La propriété relative aux réseaux de rang i est évidente, les nombres du réseau (a) sont séparés les uns des autres par un intervalle égal à I a I .

Quant aux réseaux de rang supérieur à i, prenons un réseau de rang 2, car la propriété sera vraie à fortiori pour un réseau de rang supérieur à 2. Soit le réseau formé par les nombres ax -+- by, le

rapport ^ étant irrationnel. La différence de deux nombres du

réseau étant encore un nombre du réseau, pour démontrer qu'il y a des nombres du réseau infiniment voisins les uns des autres il suffit de démontrer qu'on peut trouver un nombre du réseau plut petit, en valeur absolue, qu'un nombre positif quelconque i. Or,

soit Q- une réduite du développement en fraction continuelle de

— -. On a :

a- ^""- IQn^a --QI

<r^, d'où

|aP„-4-feQ«|<[^|-

En prenant a? = P^, y = Qn et n suffisamment grand on voit que I ao; + 6y I peut être rendu aussi petit qu'on veut.

Tout ceci suppose - réel.

Ce qui précède se généralise pour une dimension quelconque. L — ,Soit, dans l'espace à d dimensions le réseau réel

(Aj, Aj, ... Arf^.i).

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il se réduise au rang d est que les déterminants du c/""* ordre formé par le tableau des coordonnées des points Ai, Aj, ... A^^.^ soient dans des rapports rationnels.

Pour simplifier l'écriture supposons d = 2. Soient A de coordonnées a, 6 ; A' de coordonnées a', b' ; et A" de coordonnées a*, b" les points de base du réseau, les points A, A', A" n'étant pas en

Càbim. — Théorie des oombres, t. II. 33

ligne droite, c'est-à-dire ah' — 6a', a! h" — 6'a", a"6 — b"a n'étant pas tous les trois nuls. Pour que A, A', A" appartiennent à un même réseau de rang a au plus il faut et il suffit que l'on ait :

C a = m,ai 4- rn^a^ a' = m'iOi -f- m2'aï a" = m/'ai H- m^'a^ (a)

m,6i -4- mafej, h' = m'i6, -h ma'èa h" = mi'&i H- m2'62

les m étant entiers, ai, ai, bi, 6, étant quelconques. Or on tire des équations précédentes

nii ma

6 mi m,

wii ma mj' m/

6' mj' ma' 6" mi" m,"

d'où

mi'n

- m, "ma'

-fcV

m,"mi a''6-

ima" /nima a ~ ah' -

— mi'ma

Il faut donc que les rapports entre elles des trois quantités : a'6* — 6'a" a"6 — b''a ab' — ha'

soient rationnels.

Réciproquement, si cette condition est satisfaite et si l'on a :

L, L', L* étant trois entiers premiers dans leur ensemble, on pourra déterminer (I, 887) des entiers mi, ma, mi', mj', mî', m/ tels que

mi'mt" — mi''mî s= L mi''mi — mima" = L' mima — mi'mi =r L'

Alors les équations (3) sont satisfaites et elles entraînent des équations de la forme (2).

Cette condition peut s'énoncer sous forme géométrique en disant que les surfaces des parallélogrammes OA'A", OA"A et OAA' sont dans des rapports rationnels.

Pour c? = 3, au lieu de surfaces de parallélogrammes on aurait affaire à des volumes de parallélépipèdes.

IL — Dans un réseau de dimension égale au rang, les points ^ont séparés par des intervalles finis .

Il suffi.t de démontrer qu'il n'y a pas de point du réseau infiniment voisin du point 0.

RÉSEAUX DE DIMENSION EGALE AU RANG 5l5

Ecrivons

OiiCCi H- 01,0:2 -f- ... -h aidXd = ei

Odi^L H- cidiXi -f- ... H- Ad^aîd = e^.

Le déterminant formé par les a est différent de zéro puisque le •réseau est de dimension d. Donc ce système d'équations n'a qu'un système de solutions en xi, Xi, ... Xd et si lèse sont infiniment petits ces solutions le sont aussi sans être nulles. Elles ne sont donc pas entières et par suite le point êi, îî, ... gj n'appartient pas au réseau.

Pour c? = 2 et lorsque le réseau est réd, ses points forment un réseau géométrique de parallélogrammes, pour (/ =• 3 un réseau de parallélépipèdes.

Au contraire, dans un réseau dont le rang est supérieur à h, dimension, chaque point est infiniment voisin d'une infinité d'autres.

Pour simplifier l'écriture nous supposerons encore d==. 2.

Il suffit de démontrer qu'on peut trouver un point du réseau dont les deux coordonnées

\ = ax -\- a' y -\- d!i Y = 6x -h 6> 4- 6"^

«ont plus petites, en valeur absolue, qu'un nombre positif donné 6. Par hypothèse a\) — 6a', dh' — 6'a" et dh — 6"a ne sont pas tous les trois nuls (sinon, le réseau serait de dimension égale à i). Supposons ah) — 6a' ^ G. Si l'on donne une valeur entière à z il existe des valeurs de a; et y, à savoir :

— (a'6" — 6'a")z — (a6" — hd\z

^— ab' — ba' y~ ab' — ba'

telles que X = Y = o. Donnons à ac et y les valeurs entières les plus voisines des précédentes

— (a'b" — b'a")z , — (ab" — ba")z , ,

5l6 THÉORIE DES NOMBRE».

On a pour ces valeurs de a;, y

X = at) -h d-t\, Y = 6yi + h'y{ donc :

IX|<i[|a| + I«'|]=A |Y|<in6| + |6'|]=B

c'est-à-dire que le point X, Y tombe dans le rectangle de centre O, de côtés parallèles à Ox, Oy et ayant pour dimensions aA et aB». Donnons à z les art -+- i valeurs consécutives :

On a ainsi an H- i , systèmes de valeurs entières de x, y, z,. telles que le point X, Y, tombe dans le rectangle. Posons :

Partageons le rectangle en N* autres par N — i parallèles à Oar équidistantes et N — i, parallèles à Oy équidistantes.

Puisqu'on a trouvé an 4- i systèmes de valeurs de X, Y dans le grand rectangle et que N* < an -h i, il y a au moins deux de cessystèmes dans un même rectangle. On a ainsi :

X' = ax' -t- ay + ah* X" = ax" 4- a'y" -\- aV

tels que

IX'-X-'K^ et |Y'-Y"|<^.

Posant :

x' — x" — a?o, / — / = jo. z' — z" — Zo les valeurs

X = xo, y = jo, z — h sont telles que

RÉSEAUX TYPES 5l7

D'ailleurs X, Y, ne sont pas nuls, car si l'on avait

aaco -I- a'/o H- «"^o = o bxo -H b'yo + b'zo = o

les rapports des quantités ab' — ba', db" — 6' a% a'b — b'a, ■seraient rationnels, ce qui est contre l'hypothèse.

Ainsi on peut rendre | X | , | Y | aussi petits qu'on veut sans ^tre nuls, ce qui démontre le théorème.

Remarquons que cette démonstration est valable pour une seule <iimension et peut remplacer celle du n° 277.

278. Réseaux types. — On voit ainsi qu'il y a une difiFérence -essentielle entre les réseaux où le rang égale la dimension et ceux où il est plus grand qu'elle. Dans les premiers il y a une distance ^nie entre deux points quelconques du réseau ; dans les seconds tout point du réseau est infiniment voisin d'une infinité d'autres. Nous appellerons les premiers : réseaux types (').

Remarque. — Dans le cas de d = i un réseau non type jouit

évidemment de cette propriété que : il y a des points du réseau sur

■tout segment de la droite quel que petit que soit ce segment. Cette

propriété ne se généralise pas absolument pour rf > i . Soit, par

exemple, d = 2. Considérons un réseau formé par trois points,

A, A'. A" tels que A et A' soient en ligne droite avec 0, le rapport

OA

-Tjjr, étant irrationnel, et A' étant en dehors de la droite OA. Il est

évident que ce réseau n'est pas type ; il a des points sur tout segment de la droite OA et aussi sur tout segment des droites obtenues en donnant à la précédente une translation égale à un multiple de OA". Mais // n'a pas des point dans toute partie du plan.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que pour qu'un réseau défini dans un plan par trois points quelconques A, A', A" ait la disposition précédente, il faut et il suffit qu'il y ait entre les surfaces des trois parallélogrammes construits sur OAA', OA'A" et OA"A une et une seule relation linéaire homogène à coejficients

(^) Cette dénomination est de M. Cbatelet. Leç. sur la Théorie des Nombres, ip. a8. Paris, Gauthier- Villars igiS. M. Chatelet dit modale type, parce qu'il ne distingue pas spécialement les réseaux des modules. Mais on verra plus loin •4]u'ua module type est un réseau.

5l8 THÉORIE DES NOMBRES

rationnels non tous nais. S'il y avait deux de ces relations (distinctes) les surfaces des parallélogrammes seraient dans des rapports rationnels et, comme on l'a vu plus haut, le rang de réseau serait égal à 2 et le réseau serait type.

On peut étendre aux modules quelconques les définitions précédentes. On appellera modale type un module tel que ses points soient séparés par des intervalles finis. Celte définition posée nous allons montrer que tout modale type est un réseau (et bien entendu, tm réseau type). Nous faisons la démonstration pour un espace à deux dimensions.

Prenons un point du module et joignons-.le à 0. Sur la demi droite ainsi obtenu il y a une infinité de points du module autres que 0. Il y en un qui est plus près de 0 que tous les autres, car si cela n'était pas, il y aurait des points du module infiniment voisins et le module ne serait pas type. Soit A, ce point. Tous les points situés sur la droite OA et dont la distance à 0 est un multiple de OA sont des points du module, et il n'y en a pas d'autres sur cette droite. S'il n'existe pas d'autres points du module que ceux-là on voit que le module est un réseau de dimension égale à i.

Supposons qu'il y ait des points du module en dehors de la droite OA. Menons par les points du module qui sont sur OA des perpendiculaires à cette droite, nous divisons ainsi le plan en bandes. Tous les points obtenus en donnant à un point quelconque du module une translation égale à un multiple de OA appartiennent aussi au module. Donc, puisqu'il y a des points du module en dehors de OA il y en a dans la bande OA. Je dis qu'il y en a qui sont plus près de OA que tous les autres. En effet, si cela n'était pas on pourrait en trouver n qui seraient distants de OA de moins^ de e, e étant aussi petit et n aussi grand qu'on veut.

Parmi ces n points il y en aurait en moins deux dont la différence des abcisses, comptées parallèlement à OA, serait plus petite

OA que et comme la différence de leurs ordonnées, comptées

perpendiculairement à OA serait plus petite que c, ces deux point» seraient aussi voisins qu'on voudrait.

Or, cela ne peut être puisque le module est type.

Soit alors B un point du module pris dans la bande OA et tel qu'il n'y ait pas de point du module plus près de OA que B. Sur

GROUPES ABELIENS 0

OA et OB construisons un parallélogramme OACB. Ce parallélogramme définit un réseau, et je dis que le module est identique à ce réseau. En effet, i* tout point de ce réseau appartient au module. 2" il n'y a pas de point du module en dehors de ce réseau. Car sinon, il y aurait un point du module à l'intérieur ou sur le contour du parallélogramme OACB, ce qui est évidemment impossible.

Corollaires I. — Toul soiis module d'un réseau est lui-même un réseau.

II. — Tout module Jormé de points à coordonnées entières est un réseau.

Remarque. — La démonstration précédente fournit une remarque importante. Elle montre que dans un réseau type à deux dimensions, on peut prendre pour premier élément de la base un point A quelconque tel qu'entre 0 et A il n'y ait pas d'autre point du réseau puis pour second élément un point B non sur OA tel que dans le parallélogramme construit sur OAB, il n'y ait pas non plus de point du réseau.

Ceci se généralise facilement pour un réseau type de dimensioiis quelconques.

279. Groupes abéliens. — Un groupe est dit abélien lorsque la multiplication y est commutative. Nous ne considérerons dans ce qui ■va suivre que des groupes abéliens d'ordre fini.

Exemples I. — L'ensemble des racines m«™*' de l'unité forme un groupe abélien d'ordre m, relativement à la multiplication ordinaire.

II. — Considérons les racines m, «"=«', les racines mj"""", ... les racines m„***' de l'unité et les produits de ces racines entre elles ; m,, mj, ... m„ étant des entiers positifs quelconques. L'ensemble de tous ces nombres forme un groupe abélien.

III. — Soit m un entier. Mettons dans une même classe tous le» entiers qui sont congrus (mod m). On forme ainsi m classes. En désignant par Ca la classe qui contient l'entier a, (de sorte que a ^ t^ (mod m) entraîne €„ = Ca'), ces m classes sont :

Si l'on considère deux classes Ca. Ca. leur produit sera par définition Ca«'. Cetle définition est acceptable, car quel que soit l'entier a choin dans la première classe pour la représenter et l'entier a' choisi dans la

5aO THÉORIE DES NOMBRES

seconde classe, la classe Caa', sera la même (I. 3i8). Ainsi la multiplication des classes est défini par l'égalité Ca X Co, = Caa*

Cette multiplication est évidemment générale, univoque, associative, et commutative. Mais elle n'est pas toujours réversible et unipare. En effet l'égalité C^ X C^ = Cj ne définit pas toujours Cx. vu que la congruence ax ^ b (mod m) n'a pas toujours une solution et une seule (I. 329).

Mais parmi toutes les classes prenons celles qui sont formées d'entiers premier au module m. (Remarquons que si un entier d'une classe est premier à m, tous les entiers de la classe le sont aussi). Le produit de deux de ces classes est encore une de ces classes, car si a et a' sont premiers à m, aa' l'est aussi. De plus on sait que a étant premier à m la congruence ax ^ b (mod m) a une solution et une seule. De plus si b est premier à m la solution de cette congruence l'est aussi. 11 en résulte que les classes (mod m) d'entiers premiers à m forment, relativement à la multiplication (mod m), un groupe abélien. Ce groupe est dWdre 'f{m). Comme cas particulier, relativement à un module premier p, les classes Cl, C, ... Cp-i forment un groupe abélien d'ordre p — i .

IV. — Les classes de formes primitives d'un déterminant donné forment, relativement à la multiplication des classes un groupe abélien. Car nous avons vu que cette multiplication jouit de toutes les propriétés nécessaires pour qu'il en soit ainsi.

V. — Considérons les genres des classes primitives d'un déterminant donné. On définit le produit de deux genres G, G' de la façon suivante. On prend une classe du premier genre, une classe du second, on fait leur produit et on prend le genre de ce produit. Le produit ainsi défini est indépendant du choix des classes prises dans les genres G et G'. Cette multiplication jouit des propriétés d'associativité, de commutativité, etc. Donc les genres des classes primitives d'un déterminant donné forment un groupe abélien.

280. Bases d'un groupe abélien. Théorème. — Dans tout groupe abélien il existe des éléments Ci, Oj, ... a„ tel que tout élément du groupe soit représentable par

ûj, Œj, ... a„ étant des entiers. L'ensemble des éléments a^, Oj, ... a„ sera dit une base du groupe; et les éléments Oi, Oi, ... a„ seront dits générateurs du groupe,

BASE d'un groupe abélien 5a I

Ce théorème est évident. L'ensemble de tous les éléments du groupe forme une base.

Connaissant une base du groupe, a^, Oj, ... a„ on peut en trouver d'autres de la façon suivante. On pose

les a étant des entiers dont le déterminant est égal ± i . Les a' forment une nouvelle base. En effet on trouve facilement :

ai = {a,'y^^i{ai')'^^^ ... (a/)-'^««

Joij désignant le mineur de a^^ dans le déterminant des a.

Par suite tout élément du groupe étant égal à un produit de certaines puissances des a est aussi égal à un produit de certaines puissances des a'. Donc les a' forment une base.

Bas. s réduites. — Etant donnée une base Oi, Oj, ... a„ il est évident que dans la représentation d'un élément du groupe sous la forme

a^^a^^ ... a"", les exposants «i, «2, ••• «n peuvent varier : le premier, d'un multiple de l'exposant Ai de aj ; le second, d'un[multiple de l'exposant ki de 02, etc. Mais cela n'est pas tout. Il peut arriver que l'on ait

«ans que l'on ait à la fois

ai ^ oi'(mod ki) ... «n ^ «n (mod fc„)

On dira qu'une base est réduite lorsque cette circonstance ne «e présente pas, c'est-à-dire lorsque toute relation de la forme (5) entraîne

ûti ^ a/(mod ki) ... an^ a„'(mod k„).

Autrement dit, si Ton ne considère pas comme distincts deux entiers «i et a/ congrus (mod ki), la représentation d'un élément du groupe

«ous la forme al^a^* ... a"' n'est possible que d'une seule manière.

L'existence des bases réduites a été démontrée par Kronecker (*). Nous allons Id rattacher à la théorie des tableaux entiers (*).

(*) Monatsber d. Berlin. Akad. (1870), p. 885. = Werke i, p. 378 {Leipzig i8g5).

(') Frobbhiub uwd Stickelberger, J.f r. u. a. M., t. 86 (1879). ^^ méthode de ces auteurs est plus détournée que celle que nous exposons ici.

5aa THÉORIE 0£S NOMBRES

Théorème, — Si une base ai, O], ... a„ n'est pas rédaiie il existe ane ou plusieurs relations de la forme

où l'on n'a pas à la fois :

Çi ^ o (mod ki) U ^ o (mod ki) ... $„ ^ o (mod /f„)

kiy ki, ... kn étant les exposants, respectivement, de Oj, Oj, ... a„.

En eiïet si la base ai, a^. ... a„ n'est pas réduite c'est qu'il y a une ou plusieurs relations de la forme

(ai)«i(a,)''» ... [a^f" = {a^f^'ia^T' ... (a„f-'

où l'on n'a pas h la fois

«1 ^ «i' (mod /ci), or, ^ a,' (mod /f»), ... of„ ^ «„' (mod /cn).

Alors

a,»«'-«i'aa"«-«2' ... a/""""' = i

ce qui est bien une relation de la forme indiquée.

Réciproquement s'il existe une relation de la forme indiquée la base n'est pas réduite, car cette relation peut s'écrire

(aO^'(a«^ ... K)^" = {aiTiarr ... (a„)^

281. — Remarquons qu'une relation telle que (6) en donne une infinité d'autres, en augmentant les exposants «i, «j, ... a„ respectivement de multiples de kl, kî, ... kn, ou bien en multipliant tous ces exposants par un même entier. Si l'on a deux relations telles que (5) on en obtient une troisième en Les multipliant membre à membre.

Etant donnée une base Oi, 02, ... a„ considérons tous les systèmes d'entiers $i, $a, ... S„ tels que

De tels systèmes existent toujours, car il y a, en tout cas, ceux dans lesquels Ç^ est un multiple de l'exposant de Oj, ?2 "i^ multiple de l'exposant de Oj, etc. Si la base est réduite il n'y a pas d'autres systèmes de k, et réciproquement. En tout cas les systèmes de ^forment un module, car si l'on a

et aVal'' ... aV = i

BASE D UN eBOUPB ABÉLIEIH 5a3-

on en déduit

et

Ce module n'étant formé que de systèmes d'entiers est un réseau (378 Corollaire II). On a ainsi

(7) ii = ^ti^i -h ki^i -h ... linXn (i = ï, 2, ... n)

les /,y étant des entiers fixes, les x prenant toutes les valeurs entières.

Ce réseau correspond à la base Oj, Oj, ... a„ en ce sens qu'il est déterminé si la base l'est. Mais les coefficients / ne le sont pas. Si l'on fait dans les formules (7) une substitution unité sur les x on a de nouvelles formules, avec de nouveaux coefficients, mais représentant toujours le même réseau.

Théorème. — Toutes le» relations

qui existent entre les éléments d'une base résultent d'an nombre fini d'entre elles.

En efiet une telle relation s'écrit, en remplaçant les 5 par leurs valeurs (7)

(8) (a[^^ai^^ ... aii'«)^^(«S'," ••. «1")'^ .- («'/"«'r .-• «1"")'" = i-

En faisant l'un des x égal à i et tous les autres égaux à zéro on obtient les relations

aW^^ ... a"* — I

aWp ...ab=i

arab" ... 0!""= I

Réciproquement toutes les relations (8), c'est-à-dire toutes les relations entre les éléments de la base Oj, 02, ... a„ se déduisent des relations (9) qui sont en nombre fini.

Partons donc de ces dernières et voyons comment on peut les modifier et les simplifier :

1° Sans changer la base a^, a^, ... a„ on peut changer les coefficients lij en faisant dans les formules (7) une substitution unité sur

-5a4 THÉORIE DES NOMBRES

les X. Cela vient à multiplier le tableau des kj à droite par un tableau unité quelconque.

a° On peut dans les relations (9) introduire les éléments d'une autre base a'i, a'2, ... a'n reliée à la première par les relations (4) du n° 280. Les relations (9) sont alors remplacées par les relations

(10) (a'O' (a'O* ...(a'„)' {jZl'XZn}'

Si l'on compare ces relations aux relations (9), on voit que le tableau des exposants qui interviennent dans les relations (10) se déduit du tableau des exposants qui interviennent dans les relations (9) en multipliant ce dernier à gauche par le tableau unité \ Xij \ . Ce tableau I Xtj I est d'ailleurs un tableau unité quelconque puisque c'est l'inverie d'un tableau unité quelconque.

Faisant sur les exposants a,^ successivement les deux modifications qu'on vient de dire, on voit qu'on peut remplacer le tableau des Uij par un tableau équivalent troisième manière (I. 38a) quelconque.

Or on a vu (I. 3o3) qu'il existe un tel tableau ayant la forme dite réduite :

UiO ... o o/cj ... o

00 ... Ur Alors les relations fondamentales entre les éléments de la base seront

(Ait = I {a.f' = i

{art=i

c'est-à-dire qu'il n'y en aura pas d'autres que celles qui expriment que Oi a un exposant fei, «j un exposant Arj, ... a^ un exposant k^.

On sait même que le tableau peut prendre la forme réduite parfaite c'est-à-dire que les exposants de Oi, a^, ... a^ seront tels que chacun soit un diviseur du suivant. Ces exposants sont les diviseurs élémentaires (I. 383) du tableau des exposants dont on est parti.

Ainsi : Tout groupé abélien a une base, réduite dans laquelle Vexposani de chaque élément divise Vexposani du suivant (').

{') Kronecker, Momtsber. d. Berl. Ak. (1870), p. 885. — Werke i, p. 378.