BASES RÉDUITES

C'est ce que nous appellerons une base réduite parfaite.

Remarques. I. — Quand on a obtenu par le procédé procèdent une base réduite il peut se faire que certains exposants k soient égaux à i. Les a correspondants sont alors égaux à l'élément unité du groupe, et on peut les supprimer de la base. C'est ce qu'on supposera toujours fait,

II. — Si l'on considère plusieurs bases réduites les tableaux correspondants sont équivalents. Par conséquent pour tous ces tableaux :

le produit des entiers ki, /cj, ... k^ est le même et égal à ei«j ... e^ le plus grand commun diviseur de leurs produits r — i à r — i est le même et égal à CiC^ ... e^.,

et enfin le plus grand commun diviseur de ces entiers est le même et égal à ei.

Les diviseurs élémentaires sont des nombres caractéristiques de la conteiture du groupe. Connaissant ces nombres Ci, e^, er on forme un groupe isomorphe au groupe donné en partant d'une base Oi, Oj, ... a„ telles que ses éléments satisfassent à

et ne satisfassent à aucune autre relation indépendante de celles-là.

Le nombre e^e^ ... 6^= kik^ ... kr est l'ordre du groupe.

L'entier r s'appellera le rang du groupe.

L'entier e^ est le plus grand exposant possible d'un élément dir groupe.

Pour tous les éléments a du groupe on a

Sauf le cas r = i, l'entier e^ est plus petit que l'ordre i du groupe. L'égalité (ii) constitue donc un perfectionnement de l'énoncé du n° 272.

282. — On peut trouver d'autres espèces de bases réduites particulières. Faisons la remarque suivante :

Dans une base on peut introduire des générateurs égaux à i .

Ceci posé soient k^, ki, ... kr les exposants d'une base réduite. Formons le tableau

/kiO ... o"

(12) lok,...o

\oo ... kr.

5a6 THÉORIE Des nombres

Supposons que l'un des exposants, k^ par exemple, se décompose en un produit de deux facteurs premiers entre eux

En introduisant dans la base un générateur égal à i on peut remplacer le tableau (la) par le suivant :

'hiO ... oc

Okî ... 00

oo ... krO wOO ... oi

Mais celui est équivalent (troisième manière) au suivant

oo ... kr'o ,00 ... okr'j

car ces deux tableaux ont les mêmes diviseurs élémentaire».

En recommençant cette transformation autant de fois qu'il est nécessaire, il est bien évident que le tfibleau (ii) se trouve finalement remplacé par un autre de même forme, mais où les éléments de la diagonale principale sont

Pi > 'il I ••• Pa ' ïj ' •••

Pi*9i ••• étant la décomposition àeki en facteurs premiers, p"', q^^ ... celle de /fj, etc.

Il lui correspond une base réduite dont les générateurs ont pour exposants

ri » ïi » ••• ra » 'ia » •••

Il peut y avoir plusieurs de ces bases mais les exposants des générateurs sont déterminés (•). Ce sont les facteurs premiers, avec leurs exposants, des diviseurs élémentaires du tableau dont on est parti.

{*) Fhobbnius und Stickelbmrgkr, J. r. a, M. 86 (1879), p. 219. — H. Webbr. Act. math. 8 (i886), p. 198, 9 (1886, 7). p. io5. — Lehrbuch d. Algèb. {a» éd.), tome a, p. 38 et siriv.